3 复变函数的积分
3.1 概念
闭曲线积分
∮Cf(z)dz=−∮C−f(z)dz
∮
C
f
(
z
)
d
z
=
−
∮
C
−
f
(
z
)
d
z
∮Cf(z)dz=∫Cudx−vdy+i∫Cvdx+udy
∮
C
f
(
z
)
d
z
=
∫
C
u
d
x
−
v
d
y
+
i
∫
C
v
d
x
+
u
d
y
∮Cf(z)dz=∫βαf[z(t)]z′(t)dt
∮
C
f
(
z
)
d
z
=
∫
α
β
f
[
z
(
t
)
]
z
′
(
t
)
d
t
∮|z−z0|=rdz(z−z0)n+1={2πi,0,n=0n≠0
∮
|
z
−
z
0
|
=
r
d
z
(
z
−
z
0
)
n
+
1
=
{
2
π
i
,
n
=
0
0
,
n
≠
0
估值不等式：曲线C长度为L，函数f(z)在C上满足|f(z)|
≤
≤
M,则
|∫Cf(z)dz|≤∫C|f(z)|ds≤ML
|
∫
C
f
(
z
)
d
z
|
≤
∫
C
|
f
(
z
)
|
d
s
≤
M
L
3.2 柯西-古萨基本定理
积分与路线无关。
柯西-古萨基本定理：如果f(z)在单连通域B内处处解析，那么f(z)在B内的任何一条封闭曲线C的积分为0。
∮Cf(z)dz=0
∮
C
f
(
z
)
d
z
=
0
3.3 复合闭路定理
闭路变形原理：区域内一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，只要变形过程中不经过不解析的点。
复合闭路定理：C为多连通域D内的一条简单闭曲线，
C1,C2...
C
1
,
C
2
.
.
.
为C内部的简单闭曲线，塔门互不包含互不相交，以它们为边界的区域全含于D，如果f(z)在D内解析，则
∮Cf(z)dz=∑k=1n∮Ckf(z)dz
∮
C
f
(
z
)
d
z
=
∑
k
=
1
n
∮
C
k
f
(
z
)
d
z
3.4 原函数与不定积分
如果函数在单连通区域内处处解析，那么积分与路线无关。
如果f(z)在单连通域B内处处解析，那么函数F(z)必为B内的解析函数。
3.5 柯西积分公式
f(z0)=12πi∮Cf(z)z−z0dz
f
(
z
0
)
=
1
2
π
i
∮
C
f
(
z
)
z
−
z
0
d
z
如果C是圆周
z=z0+Reiθ
z
=
z
0
+
R
e
i
θ
,那么
f(z0)=12π∫2π0f(z0+Reiθ)dθ
f
(
z
0
)
=
1
2
π
∫
0
2
π
f
(
z
0
+
R
e
i
θ
)
d
θ
即，一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值。
逆定理：魔勒拉
3.6 解析函数的高阶导数
f(n)(z0)=n!2πi∮Cf(z)(z−z0)n+1dz
f
(
n
)
(
z
0
)
=
n
!
2
π
i
∮
C
f
(
z
)
(
z
−
z
0
)
n
+
1
d
z
3.7 调和函数
如果二元实变函数
φ(x,y)
φ
(
x
,
y
)
在区域D内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程
∂2φ∂x2+∂2φ∂y2=0
∂
2
φ
∂
x
2
+
∂
2
φ
∂
y
2
=
0
那么称
φ(x,y)
φ
(
x
,
y
)
为D内的调和函数。
D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数。
