柯西-施瓦茨不等式，非常常见了。它的内容是：
∣
(
x
,
y
)
∣
≤
∣
x
∣
∣
y
∣
|(x,y)|\le|x| |y|
∣(x,y)∣≤∣x∣∣y∣
公式里的x和y都是向量，两条竖线是向量在内积下的模长，如果取标准内积模长就可以换成2-范数。但是如果不是标准内积，则后面是对应内积的模长。本文不讨论一般内积，所以直接用标准内积，只能在实数域，那么就可以特化为：
∑
i
=
1
n
x
i
y
i
≤
∑
i
=
1
n
x
i
2
∑
i
=
1
n
y
i
2
\sum_{i=1}^n{x_i}{y_i} \le \sqrt{\sum_{i=1}^n{x_i^2}}\sqrt{\sum_{i=1}^n{y_i^2}}
i=1∑nxiyi≤i=1∑nxi2
i=1∑nyi2
赫尔德不等式，英文为Hölder’s inequality，它的内容如下：
∑
i
=
1
n
∣
x
i
y
i
∣
≤
∥
x
∥
p
∥
y
∥
q
,
1
p
+
1
q
=
1
\sum_{i=1}^{n}|x_iy_i|\le \parallel x\parallel_p\parallel y\parallel_q,\frac1p+\frac1q=1
i=1∑n∣xiyi∣≤∥x∥p∥y∥q,p1+q1=1
展开来就是:
∑
i
=
1
n
∣
x
i
y
i
∣
≤
(
∑
i
=
1
n
∣
x
i
∣
p
)
1
p
(
∑
i
=
1
n
∣
y
i
∣
q
)
1
q
,
1
p
+
1
q
=
1
\sum_{i=1}^{n}|x_iy_i|\le (\sum_{i=1}^{n}{|x_i|^p})^\frac1p( \sum_{i=1}^{n}{|y_i|^q})^\frac1q,\frac1p+\frac1q=1
i=1∑n∣xiyi∣≤(i=1∑n∣xi∣p)p1(i=1∑n∣yi∣q)q1,p1+q1=1
p
=
2
p=2
p=2时，
q
=
2
q=2
q=2,整个不等式就变成了柯西-施瓦茨不等式。
p范数的不等式就是闵可夫斯基不等式，英文为Minkowski’s inequality，也就是：
∥
x
+
y
∥
p
≤
∥
x
∥
p
+
∥
y
∥
p
\parallel x+y\parallel_p \le \parallel x\parallel_p+\parallel y\parallel_p
∥x+y∥p≤∥x∥p+∥y∥p
展开就是
(
∑
i
=
1
n
∣
x
i
+
y
i
∣
p
)
1
p
≤
(
∑
i
=
1
n
∣
x
i
∣
p
)
1
p
+
(
∑
i
=
1
n
∣
y
i
∣
p
)
1
p
(\sum_{i=1}^{n}{|x_i+y_i|}^p)^\frac1p \le (\sum_{i=1}^{n}{|x_i|}^p)^\frac1p+ (\sum_{i=1}^{n}{|y_i|}^p)^\frac1p
(i=1∑n∣xi+yi∣p)p1≤(i=1∑n∣xi∣p)p1+(i=1∑n∣yi∣p)p1
这也是p-范数定义里的三角不等式要求。闵可夫斯基不等式是由赫尔德不等式推出来的。我讲讲这个推导过程。首先讲清楚，是在复数域
C
C
C上，竖线代表模长。
首先有复数模长的三角不等式，也就是1-范数的三角不等式，这个就无需证明了。
∣
a
+
b
∣
≤
∣
a
∣
+
∣
b
∣
|a+b|\le |a|+|b|
∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣
两边同时乘以
∣
a
+
b
∣
p
−
1
|a+b|^{p-1}
∣a+b∣p−1，得到：
∣
a
+
b
∣
∣
a
+
b
∣
p
−
1
≤
(
∣
a
∣
+
∣
b
∣
)
∣
a
+
b
∣
p
−
1
⇒
∣
a
+
b
∣
∣
a
+
b
∣
p
−
1
≤
∣
a
∣
∣
a
+
b
∣
p
−
1
+
∣
b
∣
∣
a
+
b
∣
p
−
1
|a+b||a+b|^{p-1}\le (|a|+|b|)|a+b|^{p-1}\\ \Rightarrow |a+b||a+b|^{p-1}\le |a||a+b|^{p-1}+ |b||a+b|^{p-1}\\
∣a+b∣∣a+b∣p−1≤(∣a∣+∣b∣)∣a+b∣p−1⇒∣a+b∣∣a+b∣p−1≤∣a∣∣a+b∣p−1+∣b∣∣a+b∣p−1
上式里的ab是向量的一个分量，现在把它扩展到整个向量，应用赫尔德不等式，进行变量替换：
x
i
=
∣
a
i
∣
y
i
=
∣
a
i
+
b
i
∣
p
−
1
1
p
+
1
q
=
1
⇒
∑
i
=
1
n
∣
∣
a
i
∣
∣
a
i
+
b
i
∣
p
−
1
∣
≤
(
∑
i
=
1
n
∣
∣
a
i
∣
∣
p
)
1
p
(
∑
i
=
1
n
∣
∣
a
i
+
b
i
∣
p
−
1
∣
q
)
1
q
x_i=|a_i|\\ y_i=|a_i+b_i|^{p-1}\\ \frac1p+\frac1q=1\\ \Rightarrow \sum_{i=1}^{n}||a_i||a_i+b_i|^{p-1}|\le (\sum_{i=1}^{n}{||a_i||^p})^\frac1p( \sum_{i=1}^{n}{||a_i+b_i|^{p-1}|^q})^\frac1q
xi=∣ai∣yi=∣ai+bi∣p−1p1+q1=1⇒i=1∑n∣∣ai∣∣ai+bi∣p−1∣≤(i=1∑n∣∣ai∣∣p)p1(i=1∑n∣∣ai+bi∣p−1∣q)q1
因为正整数的模长的模长就是本身，所以省略一些模长符号,得到：
⇒
∑
i
=
1
n
∣
a
i
∣
∣
a
i
+
b
i
∣
p
−
1
≤
(
∑
i
=
1
n
∣
a
i
∣
p
)
1
p
(
∑
i
=
1
n
(
∣
a
i
+
b
i
∣
p
−
1
)
q
)
1
q
⇒
∑
i
=
1
n
∣
a
i
∣
∣
a
i
+
b
i
∣
p
−
1
≤
(
∑
i
=
1
n
∣
a
i
∣
p
)
1
p
(
∑
i
=
1
n
∣
a
i
+
b
i
∣
(
p
−
1
)
q
)
1
q
\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}|a_i||a_i+b_i|^{p-1}\le (\sum_{i=1}^{n}{|a_i|^p})^\frac1p( \sum_{i=1}^{n}{(|a_i+b_i|^{p-1})^q})^\frac1q\\ \Rightarrow \sum_{i=1}^{n}|a_i||a_i+b_i|^{p-1}\le (\sum_{i=1}^{n}{|a_i|^p})^\frac1p( \sum_{i=1}^{n}{|a_i+b_i|^{(p-1)q}})^\frac1q
⇒i=1∑n∣ai∣∣ai+bi∣p−1≤(i=1∑n∣ai∣p)p1(i=1∑n(∣ai+bi∣p−1)q)q1⇒i=1∑n∣ai∣∣ai+bi∣p−1≤(i=1∑n∣ai∣p)p1(i=1∑n∣ai+bi∣(p−1)q)q1
再把另一个代入：
x
i
=
∣
b
i
∣
y
i
=
∣
a
i
+
b
i
∣
p
−
1
1
p
+
1
q
=
1
⇒
∑
i
=
1
n
∣
b
i
∣
∣
a
i
+
b
i
∣
p
−
1
≤
(
∑
i
=
1
n
∣
b
i
∣
p
)
1
p
(
∑
i
=
1
n
∣
a
i
+
b
i
∣
(
p
−
1
)
q
)
1
q
x_i=|b_i|\\ y_i=|a_i+b_i|^{p-1}\\ \frac1p+\frac1q=1\\ \Rightarrow \sum_{i=1}^{n}|b_i||a_i+b_i|^{p-1}\le (\sum_{i=1}^{n}{|b_i|^p})^\frac1p( \sum_{i=1}^{n}{|a_i+b_i|^{(p-1)q}})^\frac1q
xi=∣bi∣yi=∣ai+bi∣p−1p1+q1=1⇒i=1∑n∣bi∣∣ai+bi∣p−1≤(i=1∑n∣bi∣p)p1(i=1∑n∣ai+bi∣(p−1)q)q1
两个公式加起来：
∑
i
=
1
n
∣
a
i
∣
∣
a
i
+
b
i
∣
p
−
1
+
∑
i
=
1
n
∣
b
i
∣
∣
a
i
+
b
i
∣
p
−
1
≤
(
∑
i
=
1
n
∣
a
i
∣
p
)
1
p
(
∑
i
=
1
n
∣
a
i
+
b
i
∣
(
p
−
1
)
q
)
1
q
+
(
∑
i
=
1
n
∣
b
i
∣
p
)
1
p
(
∑
i
=
1
n
∣
a
i
+
b
i
∣
(
p
−
1
)
q
)
1
q
\sum_{i=1}^{n}|a_i||a_i+b_i|^{p-1} + \sum_{i=1}^{n}|b_i||a_i+b_i|^{p-1} \le\\ (\sum_{i=1}^{n}{|a_i|^p})^\frac1p( \sum_{i=1}^{n}{|a_i+b_i|^{(p-1)q}})^\frac1q + (\sum_{i=1}^{n}{|b_i|^p})^\frac1p( \sum_{i=1}^{n}{|a_i+b_i|^{(p-1)q}})^\frac1q\\
i=1∑n∣ai∣∣ai+bi∣p−1+i=1∑n∣bi∣∣ai+bi∣p−1≤(i=1∑n∣ai∣p)p1(i=1∑n∣ai+bi∣(p−1)q)q1+(i=1∑n∣bi∣p)p1(i=1∑n∣ai+bi∣(p−1)q)q1
右边合并一下：
∑
i
=
1
n
∣
a
i
∣
∣
a
i
+
b
i
∣
p
−
1
+
∑
i
=
1
n
∣
b
i
∣
∣
a
i
+
b
i
∣
p
−
1
≤
(
(
∑
i
=
1
n
∣
a
i
∣
p
)
1
p
+
(
∑
i
=
1
n
∣
b
i
∣
p
)
1
p
)
(
∑
i
=
1
n
∣
a
i
+
b
i
∣
(
p
−
1
)
q
)
1
q
\sum_{i=1}^{n}|a_i||a_i+b_i|^{p-1} + \sum_{i=1}^{n}|b_i||a_i+b_i|^{p-1} \le\\( (\sum_{i=1}^{n}{|a_i|^p})^\frac1p+(\sum_{i=1}^{n}{|b_i|^p})^\frac1p)( \sum_{i=1}^{n}{|a_i+b_i|^{(p-1)q}})^\frac1q \\
i=1∑n∣ai∣∣ai+bi∣p−1+i=1∑n∣bi∣∣ai+bi∣p−1≤((i=1∑n∣ai∣p)p1+(i=1∑n∣bi∣p)p1)(i=1∑n∣ai+bi∣(p−1)q)q1
左边也合并一下：
∑
i
=
1
n
(
∣
a
i
∣
+
∣
b
i
∣
)
∣
a
i
+
b
i
∣
p
−
1
≤
(
(
∑
i
=
1
n
∣
a
i
∣
p
)
1
p
+
(
∑
i
=
1
n
∣
b
i
∣
p
)
1
p
)
(
∑
i
=
1
n
∣
a
i
+
b
i
∣
(
p
−
1
)
q
)
1
q
⇒
∑
i
=
1
n
∣
a
i
+
b
i
∣
p
≤
[
(
∑
i
=
1
n
∣
a
i
∣
p
)
1
p
+
(
∑
i
=
1
n
∣
b
i
∣
p
)
1
p
]
(
∑
i
=
1
n
∣
a
i
+
b
i
∣
(
p
−
1
)
q
)
1
q
\sum_{i=1}^{n}(|a_i|+|b_i|)|a_i+b_i|^{p-1} \le\\( (\sum_{i=1}^{n}{|a_i|^p})^\frac1p+(\sum_{i=1}^{n}{|b_i|^p})^\frac1p)( \sum_{i=1}^{n}{|a_i+b_i|^{(p-1)q}})^\frac1q \\ \Rightarrow \sum_{i=1}^{n}|a_i+b_i|^{p} \le[ (\sum_{i=1}^{n}{|a_i|^p})^\frac1p+(\sum_{i=1}^{n}{|b_i|^p})^\frac1p]( \sum_{i=1}^{n}{|a_i+b_i|^{(p-1)q}})^\frac1q
i=1∑n(∣ai∣+∣bi∣)∣ai+bi∣p−1≤((i=1∑n∣ai∣p)p1+(i=1∑n∣bi∣p)p1)(i=1∑n∣ai+bi∣(p−1)q)q1⇒i=1∑n∣ai+bi∣p≤[(i=1∑n∣ai∣p)p1+(i=1∑n∣bi∣p)p1](i=1∑n∣ai+bi∣(p−1)q)q1
再处理一下
(
p
−
1
)
q
(p-1)q
(p−1)q:
1
p
+
1
q
=
1
⇒
1
q
=
1
−
1
p
⇒
1
q
=
p
−
1
p
⇒
(
p
−
1
)
q
=
p
\frac1p+\frac1q=1\\ \Rightarrow \frac1q=1-\frac1p\\ \Rightarrow \frac1q=\frac{p-1}{p}\\ \Rightarrow (p-1)q=p
p1+q1=1⇒q1=1−p1⇒q1=pp−1⇒(p−1)q=p
代入，替换：
∑
i
=
1
n
(
∣
a
i
∣
+
∣
b
i
∣
)
∣
a
i
+
b
i
∣
p
−
1
≤
[
(
∑
i
=
1
n
∣
a
i
∣
p
)
1
p
+
(
∑
i
=
1
n
∣
b
i
∣
p
)
1
p
]
(
∑
i
=
1
n
∣
a
i
+
b
i
∣
p
)
1
q
\sum_{i=1}^{n}(|a_i|+|b_i|)|a_i+b_i|^{p-1} \le\\ [ (\sum_{i=1}^{n}{|a_i|^p})^\frac1p+(\sum_{i=1}^{n}{|b_i|^p})^\frac1p]( \sum_{i=1}^{n}{|a_i+b_i|^{p}})^\frac1q
i=1∑n(∣ai∣+∣bi∣)∣ai+bi∣p−1≤[(i=1∑n∣ai∣p)p1+(i=1∑n∣bi∣p)p1](i=1∑n∣ai+bi∣p)q1
发现两边都有
∑
i
=
1
n
∣
a
i
+
b
i
∣
p
\sum_{i=1}^{n}|a_i+b_i|^{p}
∑i=1n∣ai+bi∣p,于是对左边进行改造，运用三角不等式：
∣
a
+
b
∣
∣
a
+
b
∣
p
−
1
≤
(
∣
a
∣
+
∣
b
∣
)
∣
a
+
b
∣
p
−
1
|a+b||a+b|^{p-1}\le (|a|+ |b|)|a+b|^{p-1}
∣a+b∣∣a+b∣p−1≤(∣a∣+∣b∣)∣a+b∣p−1
在三角不等式外面加求和符号，得到：
∑
i
=
1
n
∣
a
i
+
b
i
∣
∣
a
i
+
b
i
∣
p
−
1
≤
∑
i
=
1
n
(
∣
a
i
∣
+
∣
b
i
∣
)
∣
a
i
+
b
i
∣
p
−
1
⇒
∑
i
=
1
n
∣
a
i
+
b
i
∣
p
≤
∑
i
=
1
n
(
∣
a
i
∣
+
∣
b
i
∣
)
∣
a
i
+
b
i
∣
p
−
1
⇒
(
∑
i
=
1
n
∣
a
i
+
b
i
∣
p
)
1
≤
∑
i
=
1
n
(
∣
a
i
∣
+
∣
b
i
∣
)
∣
a
i
+
b
i
∣
p
−
1
⇒
(
∑
i
=
1
n
∣
a
i
+
b
i
∣
p
)
1
p
+
1
q
≤
∑
i
=
1
n
(
∣
a
i
∣
+
∣
b
i
∣
)
∣
a
i
+
b
i
∣
p
−
1
\sum_{i=1}^{n}|a_i+b_i||a_i+b_i|^{p-1} \le \sum_{i=1}^{n}(|a_i|+|b_i|)|a_i+b_i|^{p-1}\\ \Rightarrow \sum_{i=1}^{n}|a_i+b_i|^{p} \le \sum_{i=1}^{n}(|a_i|+|b_i|)|a_i+b_i|^{p-1}\\ \Rightarrow (\sum_{i=1}^{n}|a_i+b_i|^{p})^{1}\le \sum_{i=1}^{n}(|a_i|+|b_i|)|a_i+b_i|^{p-1}\\ \Rightarrow (\sum_{i=1}^{n}|a_i+b_i|^{p})^{\frac1p+\frac1q}\le \sum_{i=1}^{n}(|a_i|+|b_i|)|a_i+b_i|^{p-1}
i=1∑n∣ai+bi∣∣ai+bi∣p−1≤i=1∑n(∣ai∣+∣bi∣)∣ai+bi∣p−1⇒i=1∑n∣ai+bi∣p≤i=1∑n(∣ai∣+∣bi∣)∣ai+bi∣p−1⇒(i=1∑n∣ai+bi∣p)1≤i=1∑n(∣ai∣+∣bi∣)∣ai+bi∣p−1⇒(i=1∑n∣ai+bi∣p)p1+q1≤i=1∑n(∣ai∣+∣bi∣)∣ai+bi∣p−1
把三个式子连起来，得到：
(
∑
i
=
1
n
∣
a
i
+
b
i
∣
p
)
1
p
+
1
q
≤
∑
i
=
1
n
(
∣
a
i
∣
+
∣
b
i
∣
)
∣
a
i
+
b
i
∣
p
−
1
≤
(
(
∑
i
=
1
n
∣
a
i
∣
p
)
1
p
+
(
∑
i
=
1
n
∣
b
i
∣
p
)
1
p
)
(
∑
i
=
1
n
∣
a
i
+
b
i
∣
p
)
1
q
(\sum_{i=1}^{n}|a_i+b_i|^{p})^{\frac1p+\frac1q}\\ \le \sum_{i=1}^{n}(|a_i|+|b_i|)|a_i+b_i|^{p-1}\\ \le( (\sum_{i=1}^{n}{|a_i|^p})^\frac1p+(\sum_{i=1}^{n}{|b_i|^p})^\frac1p)( \sum_{i=1}^{n}{|a_i+b_i|^{p}})^\frac1q\\
(i=1∑n∣ai+bi∣p)p1+q1≤i=1∑n(∣ai∣+∣bi∣)∣ai+bi∣p−1≤((i=1∑n∣ai∣p)p1+(i=1∑n∣bi∣p)p1)(i=1∑n∣ai+bi∣p)q1
根据不等式的传递性，去掉中间的，然后得到：
(
∑
i
=
1
n
∣
a
i
+
b
i
∣
p
)
1
p
+
1
q
≤
(
(
∑
i
=
1
n
∣
a
i
∣
p
)
1
p
+
(
∑
i
=
1
n
∣
b
i
∣
p
)
1
p
)
(
∑
i
=
1
n
∣
a
i
+
b
i
∣
p
)
1
q
(\sum_{i=1}^{n}|a_i+b_i|^{p})^{\frac1p+\frac1q}\\ \le( (\sum_{i=1}^{n}{|a_i|^p})^\frac1p+(\sum_{i=1}^{n}{|b_i|^p})^\frac1p)( \sum_{i=1}^{n}{|a_i+b_i|^{p}})^\frac1q
(i=1∑n∣ai+bi∣p)p1+q1≤((i=1∑n∣ai∣p)p1+(i=1∑n∣bi∣p)p1)(i=1∑n∣ai+bi∣p)q1
所以两边都可以除于
(
∑
i
=
1
n
∣
a
i
+
b
i
∣
p
)
1
q
(\sum_{i=1}^{n}|a_i+b_i|^{p})^{\frac1q}
(∑i=1n∣ai+bi∣p)q1，得到：
(
∑
i
=
1
n
∣
a
i
+
b
i
∣
p
)
1
p
≤
(
∑
i
=
1
n
∣
a
i
∣
p
)
1
p
+
(
∑
i
=
1
n
∣
b
i
∣
p
)
1
p
(\sum_{i=1}^{n}|a_i+b_i|^{p})^{\frac1p} \le (\sum_{i=1}^{n}{|a_i|^p})^\frac1p+(\sum_{i=1}^{n}{|b_i|^p})^\frac1p
(i=1∑n∣ai+bi∣p)p1≤(i=1∑n∣ai∣p)p1+(i=1∑n∣bi∣p)p1
这就是闵可夫斯基不等式。证明完毕Q.A.D。
