本篇博客参照了河北大学数计学院时坚所著的《含指数函数的不定积分方法归纳》，并在其基础上做了拓展。
不定积分为数学分析中一类重要的内容，其积分技巧和方法在几百年来一步步得到深入研究和探索。而含指数函数的不定积分为积分学中一大类重要积分，其积分方法多种多样，活灵活现，现将其归纳如下：
一、被积函数为复合函数，且该复合函数的内函数为指数函数时，利用该指数函数作为过渡，再利用凑微分法即可。
- 例1.1：
∫
1
1
+
e
x
d
x
\int \frac{1}{1+e^{x}} d x
∫1+ex1dx
解：
∫
1
1
+
e
x
d
x
=
∫
e
x
d
x
e
x
(
1
+
e
x
)
=
∫
d
e
x
e
x
(
1
+
e
x
)
=
∫
(
1
e
x
−
1
1
+
e
x
)
d
e
x
=
x
−
ln
(
1
+
e
x
)
+
C
\begin{aligned} \int \frac{1}{1+e^{x}} d x &=\int \frac{e^{x} d x}{e^{x}\left(1+e^{x}\right)}=\int \frac{d e^{x}}{e^{x}\left(1+e^{x}\right)} \\ &=\int\left(\frac{1}{e^{x}}-\frac{1}{1+e^{x}}\right) d e^{x}=x-\ln \left(1+e^{x}\right)+C \end{aligned}
∫1+ex1dx=∫ex(1+ex)exdx=∫ex(1+ex)dex=∫(ex1−1+ex1)dex=x−ln(1+ex)+C
- 例1.2 ：
∫
e
x
e
x
+
e
−
x
d
x
\int \frac{e^{x}}{e^{x}+e^{-x}} d x
∫ex+e−xexdx
解：
∫
e
x
e
x
+
e
−
x
d
x
=
∫
e
2
x
e
2
x
+
1
d
x
=
1
2
∫
d
e
2
x
e
2
x
+
1
=
1
2
ln
(
1
+
e
2
x
)
+
C
\int \frac{e^{x}}{e^{x}+e^{-x}} d x=\int \frac{e^{2 x}}{e^{2 x}+1} d x=\frac{1}{2} \int \frac{d e^{2 x}}{e^{2 x}+1}=\frac{1}{2} \ln \left(1+e^{2 x}\right)+C
∫ex+e−xexdx=∫e2x+1e2xdx=21∫e2x+1de2x=21ln(1+e2x)+C
以上两个例子说明，对于复合函数中内函数为指数函数的分部积分，主要是凑出指数函数的形式，继而进行进一步的求解。
二、当被积函数为指数函数和其它初等函数的乘积时，可用分部积分法。
- 例2：
∫
x
e
x
d
x
\int x e^{x} d x
∫xexdx
解：
∫
x
e
x
d
x
=
∫
x
d
e
x
=
x
e
x
−
∫
e
x
d
x
=
x
e
x
−
e
x
+
C
\int x e^{x} d x=\int x d e^{x}=x e^{x}-\int e^{x} d x=x e^{x}-e^{x}+C
∫xexdx=∫xdex=xex−∫exdx=xex−ex+C
事实上，对于这样的情形，无论是指数函数和幂函
数，抑或是指数函数和三角函数，还是和其它初等函数，都采用分部积分法。这些分部积分方法在一般的数学分析教材中可常见。值得注意的是，在含有指数函数和其它函数乘积的分部积分的过程中，对于常用的分部积分公式
∫
u
v
′
d
x
=
∫
u
d
v
=
u
v
−
∫
v
d
u
=
u
v
−
∫
v
u
′
d
x
\int u v^{\prime} d x=\int u d v=u v-\int v d u=u v-\int v u^{\prime} d x
∫uv′dx=∫udv=uv−∫vdu=uv−∫vu′dx，一般令
v
v
v 为指数函数。
三、当被积函数可化为某可导函数及其导函数之和与指数函数的乘机时，可用下面的推导公式。
∫
[
f
(
x
)
+
f
′
(
x
)
]
e
x
d
x
=
∫
[
e
x
f
(
x
)
]
′
d
x
=
e
x
f
(
x
)
+
C
(
∗
)
\int\left[f(x)+f^{\prime}(x)\right] e^{x} d x=\int\left[e^{x} f(x)\right]^{\prime} d x=e^{x} f(x)+C \ (*)
∫[f(x)+f′(x)]exdx=∫[exf(x)]′dx=exf(x)+C (∗)
- 例3.1：
∫
x
e
x
(
1
+
x
)
2
d
x
\int \frac{x e^{x}}{(1+x)^{2}} d x
∫(1+x)2xexdx
解：
∫
x
e
x
(
1
+
x
)
2
d
x
=
∫
[
1
1
+
x
−
1
(
1
+
x
)
2
]
e
x
d
x
=
∫
[
1
1
+
x
+
(
1
1
+
x
)
′
]
e
x
d
x
=
e
x
1
+
x
+
C
\begin{aligned} \int \frac{x e^{x}}{(1+x)^{2}} d x&=\int\left[\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^{2}}\right] e^{x} d x \\ &=\int\left[\frac{1}{1+x}+\left(\frac{1}{1+x}\right)^{\prime}\right] e^{x} d x=\frac{e^{x}}{1+x}+C \end{aligned}
∫(1+x)2xexdx=∫[1+x1−(1+x)21]exdx=∫[1+x1+(1+x1)′]exdx=1+xex+C
- 例3.2：
∫
e
2
x
(
tan
x
+
1
)
2
d
x
\int e^{2 x}(\tan x+1)^{2} d x
∫e2x(tanx+1)2dx
解：
∫
e
2
x
(
tan
x
+
1
)
2
d
x
=
∫
e
2
x
(
sec
2
x
+
2
tan
x
)
d
x
=
∫
[
e
2
x
(
tan
x
)
′
+
(
e
2
x
)
′
tan
x
]
d
x
=
e
2
x
tan
x
+
C
\begin{aligned} \int e^{2 x}(\tan x+1)^{2} d x &=\int e^{2 x}\left(\sec ^{2} x+2 \tan x\right) d x \\ &=\int\left[e^{2 x}(\tan x)^{\prime}+\left(e^{2 x}\right)^{\prime} \tan x\right] d x \\ &=e^{2 x} \tan x+C \end{aligned}
∫e2x(tanx+1)2dx=∫e2x(sec2x+2tanx)dx=∫[e2x(tanx)′+(e2x)′tanx]dx=e2xtanx+C
例3.2 说明公式
(
∗
)
(*)
(∗)可有以下更广泛的推广：
∫
[
α
f
(
x
)
+
f
′
(
x
)
]
e
α
x
d
x
=
∫
[
e
α
x
f
(
x
)
]
′
d
x
=
e
α
x
f
(
x
)
+
C
(
∗
∗
)
\int\left[\alpha f(x)+f^{\prime}(x)\right] e^{\alpha x} d x=\int\left[e^{\alpha x} f(x)\right]^{\prime} d x=e^{\alpha x} f(x)+C \ (**)
∫[αf(x)+f′(x)]eαxdx=∫[eαxf(x)]′dx=eαxf(x)+C (∗∗)
对于这种情况，主要是拆分和指数函数相乘的那个函数，将被积函数中除去指数函数的部分，拆成某可导函数及其导函数之和的形式，然后利用公式
(
∗
∗
)
(**)
(∗∗)，即可进行较为方便的不定积分的求解。
综述
综合以上三种情况，可以将含指数函数的不定积分的三种形式归纳如下：
- 首先，当被积函数为指数函数的复合函数时，可考虑凑微分法；
- 其次，当被积函数为指数函数和其它初等函数的乘积时，可考虑采用分部积分法，通过分部积分公式进行求解；
- 最后，当被积函数为指数函数和某可导函数及其导函数之和的乘积时，可考虑公式
(
∗
)
(*)
(∗)和
(
∗
∗
)
(**)
(∗∗)，采用这种有一定技巧的积分方法。
补充
形如
∫
0
+
∞
x
α
e
−
β
x
d
x
\int_{0}^{+\infty} x^{\alpha}e^{-\beta x} d x
∫0+∞xαe−βxdx
的定积分有更加简便的方法。仔细观察可以发现，被积函数为
Γ
\Gamma
Γ分布的核函数。可能有读者不了解
Γ
\Gamma
Γ分布，我在这里简单讲解一下。
对
X
X
X~
Γ
(
α
,
β
)
\Gamma(\alpha,\beta)
Γ(α,β)，其概率密度函数为：
f
(
x
,
α
,
β
)
=
β
α
Γ
(
α
)
⋅
x
α
−
1
⋅
e
−
β
x
,
x
>
0
f(x,\alpha,\beta)=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\cdot x^{\alpha-1} \cdot e^{-\beta x},x>0
f(x,α,β)=Γ(α)βα⋅xα−1⋅e−βx,x>0
Γ
(
x
)
\Gamma(x)
Γ(x)为伽马函数。需要注意的是，随机变量
X
X
X的定义域为
[
0
,
+
∞
)
[0,+\infty)
[0,+∞)，因此只有积分区间为
[
0
,
+
∞
)
[0,+\infty)
[0,+∞)的积分才可以使用该简便方法。
了解了
Γ
\Gamma
Γ分布，现在开始算积分：
∫
0
+
∞
x
α
e
−
β
x
d
x
=
Γ
(
α
+
1
)
β
α
+
1
∫
0
+
∞
β
α
+
1
Γ
(
α
+
1
)
⋅
x
α
e
−
β
x
d
x
=
Γ
(
α
+
1
)
β
α
+
1
\begin{aligned} \int_{0}^{+\infty} x^{\alpha}e^{-\beta x} d x &=\frac{\Gamma(\alpha+1)}{\beta^{\alpha+1}} \int_{0}^{+\infty}\frac{\beta^{\alpha+1}}{ \Gamma(\alpha+1)} \cdot x^{\alpha}e^{-\beta x} d x =\frac{\Gamma(\alpha+1)}{\beta^{\alpha+1}} \end{aligned}
∫0+∞xαe−βxdx=βα+1Γ(α+1)∫0+∞Γ(α+1)βα+1⋅xαe−βxdx=βα+1Γ(α+1)
如果熟练的话其实直接就可以得到积分为
Γ
\Gamma
Γ分布的系数的倒数。
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