三相三线制逆变器的拓扑如下图所示，其中开关变换器的端口线电压是
U
A
B
U_{AB}
UAB，
U
B
C
U_{BC}
UBC和
U
C
A
U_{CA}
UCA，负载线电压是
v
a
b
v_{ab}
vab，
v
b
c
v_{bc}
vbc和
v
c
a
v_{ca}
vca，滤波电容为三角形连接，如果变成星型连接，则容值变成3C。假设负载是星型连接，且三相负载的连接点是O点，则可认为三相星型连接电容和三相星型连接负载处于并联状态，便于后面的简化与建模，假定O点是参考电位点，则
U
A
U_A
UA和
v
a
v_a
va分别是A相的端口相电压和负载相电压，而且后面的dq变换都是针对相电压进行的。
三相dq变换和单相dq变换类似，都是包含很多种形式，主要是在
s
i
n
θ
sin\theta
sinθ，
c
o
s
θ
cos\theta
cosθ，
−
s
i
n
θ
-sin\theta
−sinθ，
−
c
o
s
θ
-cos\theta
−cosθ之间进行切换，其中进行dq变换以及dq求导变换时，应该将
θ
\theta
θ看做
w
t
wt
wt。MATLAB中常用的两种dq变换矩阵分别是
T
a
b
c
−
d
q
=
2
3
[
c
o
s
w
t
c
o
s
(
w
t
−
2
π
3
)
c
o
s
(
w
t
+
2
π
3
)
−
s
i
n
w
t
−
s
i
n
(
w
t
−
2
π
3
)
−
s
i
n
(
w
t
+
2
π
3
)
]
T_{abc-dq}= \frac{2}{3} \begin{bmatrix} coswt & cos(wt-\frac{2\pi}{3}) & cos(wt+\frac{2\pi}{3})\\ -sinwt & -sin(wt-\frac{2\pi}{3}) & -sin(wt+\frac{2\pi}{3}) \end{bmatrix}
Tabc−dq=32[coswt−sinwtcos(wt−32π)−sin(wt−32π)cos(wt+32π)−sin(wt+32π)]
T
a
b
c
−
d
q
=
2
3
[
s
i
n
w
t
s
i
n
(
w
t
−
2
π
3
)
s
i
n
(
w
t
+
2
π
3
)
c
o
s
w
t
c
o
s
(
w
t
−
2
π
3
)
c
o
s
(
w
t
+
2
π
3
)
]
T_{abc-dq}= \frac{2}{3} \begin{bmatrix} sinwt & sin(wt-\frac{2\pi}{3}) & sin(wt+\frac{2\pi}{3})\\ coswt & cos(wt-\frac{2\pi}{3}) & cos(wt+\frac{2\pi}{3}) \end{bmatrix}
Tabc−dq=32[sinwtcoswtsin(wt−32π)cos(wt−32π)sin(wt+32π)cos(wt+32π)]
这两个矩阵均满足
T
a
b
c
−
d
q
d
i
a
b
c
d
t
=
[
d
i
d
d
t
d
i
q
d
t
]
−
w
[
i
q
−
i
d
]
T_{abc-dq}\frac{d_{iabc}}{d_t}= \begin{bmatrix} \frac{d_{id}}{d_t}\\ \frac{d_{iq}}{d_t} \end{bmatrix} -w \begin{bmatrix} i_q\\ -i_d \end{bmatrix}
Tabc−dqdtdiabc=[dtdiddtdiq]−w[iq−id]
所以最终dq解耦控制的表达式是一致的。
三相逆变器的时域模型如下：
[
v
a
v
b
v
c
]
=
[
U
A
U
B
U
C
]
−
[
r
∗
i
A
r
∗
i
B
r
∗
i
C
]
−
L
[
d
i
A
d
t
d
i
B
d
t
d
i
C
d
t
]
\begin{bmatrix} v_a\\ v_b\\ v_c \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} U_A\\ U_B\\ U_C \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} r*i_A\\ r*i_B\\ r*i_C \end{bmatrix}-L \begin{bmatrix} \frac{d_{iA}}{d_t}\\ \frac{d_{iB}}{d_t}\\ \frac{d_{iC}}{d_t} \end{bmatrix}
⎣⎡vavbvc⎦⎤=⎣⎡UAUBUC⎦⎤−⎣⎡r∗iAr∗iBr∗iC⎦⎤−L⎣⎢⎡dtdiAdtdiBdtdiC⎦⎥⎤
将其进行dq变换，可得：
T
a
b
c
−
d
q
[
v
a
v
b
v
c
]
=
T
a
b
c
−
d
q
[
U
A
U
B
U
C
]
−
T
a
b
c
−
d
q
[
r
∗
i
A
r
∗
i
B
r
∗
i
C
]
−
T
a
b
c
−
d
q
L
[
d
i
A
d
t
d
i
B
d
t
d
i
C
d
t
]
T_{abc-dq}\begin{bmatrix} v_a\\ v_b\\ v_c \end{bmatrix}= T_{abc-dq}\begin{bmatrix} U_A\\ U_B\\ U_C \end{bmatrix}- T_{abc-dq}\begin{bmatrix} r*i_A\\ r*i_B\\ r*i_C \end{bmatrix}-T_{abc-dq}L \begin{bmatrix} \frac{d_{iA}}{d_t}\\ \frac{d_{iB}}{d_t}\\ \frac{d_{iC}}{d_t} \end{bmatrix}
Tabc−dq⎣⎡vavbvc⎦⎤=Tabc−dq⎣⎡UAUBUC⎦⎤−Tabc−dq⎣⎡r∗iAr∗iBr∗iC⎦⎤−Tabc−dqL⎣⎢⎡dtdiAdtdiBdtdiC⎦⎥⎤
上式中一共四项，其中前三相就是简单的dq变换，但是最后一项的dq变换涉及到导数的dq变换，需要进行处理。
T
a
b
c
−
d
q
[
i
A
i
B
i
C
]
=
[
i
d
i
q
]
T_{abc-dq}\begin{bmatrix} i_A\\ i_B\\ i_C \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} i_d\\ i_q\\ \end{bmatrix}
Tabc−dq⎣⎡iAiBiC⎦⎤=[idiq]
[ d i d d t d i q d t ] = d T a b c − d q i a b c d t = T a b c − d q d i A B C d t + i A B C d T a b c − d q d t \begin{bmatrix} \frac{d_{id}}{d_t}\\ \frac{d_{iq}}{d_t} \end{bmatrix} = \frac{d_{{T_{abc-dq}}i_{abc}}}{d_t}= T_{abc-dq}\frac{d_{iABC}}{d_t}+i_{ABC}\frac{d_{T_{abc-dq}}}{d_t} [dtdiddtdiq]=dtdTabc−dqiabc=Tabc−dqdtdiABC+iABCdtdTabc−dq
T a b c − d q d i A B C d t = T a b c − d q [ d i A d t d i B d t d i C d t ] T_{abc-dq}\frac{d_{iABC}}{d_t}=T_{abc-dq} \begin{bmatrix} \frac{d_{iA}}{d_t}\\ \frac{d_{iB}}{d_t}\\ \frac{d_{iC}}{d_t} \end{bmatrix} Tabc−dqdtdiABC=Tabc−dq⎣⎢⎡dtdiAdtdiBdtdiC⎦⎥⎤
T
a
b
c
−
d
q
d
i
A
B
C
d
t
=
[
d
i
d
d
t
d
i
q
d
t
]
−
w
[
i
q
−
i
d
]
T_{abc-dq}\frac{d_{iABC}}{d_t}= \begin{bmatrix} \frac{d_{id}}{d_t}\\ \frac{d_{iq}}{d_t} \end{bmatrix} -w \begin{bmatrix} i_q\\ -i_d \end{bmatrix}
Tabc−dqdtdiABC=[dtdiddtdiq]−w[iq−id]
经过上面的计算，可以得出：
[
v
d
v
q
]
=
[
U
d
U
q
]
−
r
[
i
d
i
q
]
−
L
[
d
i
d
d
t
d
i
q
d
t
]
+
ω
L
[
i
q
−
i
d
]
\begin{bmatrix} v_d\\ v_q\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} U_d\\ U_q\\ \end{bmatrix}-r \begin{bmatrix} i_d\\ i_q\\ \end{bmatrix}-L \begin{bmatrix} \frac{d_{id}}{d_t}\\ \frac{d_{iq}}{d_t}\\ \end{bmatrix}+ \omega L \begin{bmatrix} i_q\\ -i_d\\ \end{bmatrix}
[vdvq]=[UdUq]−r[idiq]−L[dtdiddtdiq]+ωL[iq−id]
且可以证明，两种dq变换均满足这个表达式。可以发现，这个表达式和之前推导的三相整流器的dq解耦表达式不一致，这是由于电感电流的正方向和之前推导的相反，此处是变换器流向电网。
将三角形连接的电容转换成星型连接后，容值变成3C。根据KCL方程可以列出：
3
C
[
d
v
a
d
t
d
v
b
d
t
d
v
c
d
t
]
=
[
i
A
i
B
i
C
]
−
[
I
A
I
B
I
C
]
3C\begin{bmatrix} \frac{d_{va}}{d_t}\\ \frac{d_{vb}}{d_t}\\ \frac{d_{vc}}{d_t} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} i_A\\ i_B\\ i_C \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} I_A\\ I_B\\ I_C \end{bmatrix}
3C⎣⎢⎡dtdvadtdvbdtdvc⎦⎥⎤=⎣⎡iAiBiC⎦⎤−⎣⎡IAIBIC⎦⎤
经过dq变换之后，可得：
C
[
d
v
d
d
t
d
v
q
d
t
]
=
ω
C
[
v
q
−
v
d
]
+
1
3
[
i
d
i
q
]
−
1
3
[
I
d
I
q
]
C\begin{bmatrix} \frac{d_{vd}}{d_t}\\ \frac{d_{vq}}{d_t}\\ \end{bmatrix}= \omega C \begin{bmatrix} v_q\\ -v_d\\ \end{bmatrix}+\frac{1}{3} \begin{bmatrix} i_d\\ i_q\\ \end{bmatrix}-\frac{1}{3} \begin{bmatrix} I_d\\ I_q\\ \end{bmatrix}
C[dtdvddtdvq]=ωC[vq−vd]+31[idiq]−31[IdIq]
建立完数学模型之后，若采用PI控制，则只需要将dq变换后的表达式中的求导项替换成PI表达式即可。值得注意的是，由于滤波电容是三角形连接，所以电压环中耦合项用的是3C, 但是如果换成星型连接，则耦合项中用的是C。也就是说三角形连接的电容C，等效成星型连接的3C，而我们分析控制系统时是根据星型连接来做的。
综上所述，逆变器负载电压的电压环输出为电感电流的目标值，而电感电流的电流环输出是端口电压的目标值，将端口电压进行调制，就会得到开关信号。其实体现的就是预测控制的思想。
