MATLAB 快速傅里叶变换（fft）结果为什么是复数？

2023-11-10

文章核心是两部分：
（1）从直观和本质的角度，说明为什么快速傅里叶变换的结果是复数；
（2）详细说明了MATLAB中fft函数的运用方法，并给出了fft幅度谱的求解代码。
但要真正了解快速傅里叶变换，核心是理解“FFT的计算原理”！！！

一、直观解释

二、本质原因之FFT的计算原理（关键）

三、MATLAB中fft函数说明

函数形式

参数说明

四、 FFT求频率-幅值谱的MATLAB 代码

五、扩展阅读

一、直观解释

第一，从定义式上看，积分号里含有复数，积分结果是复数；

第二，从傅立叶变换的物理意义上看：傅里叶变换是将一个信号分解为多个信号之和的形式，并且是正弦或余弦信号叠加的形式。决定一个正弦波 $x=Asin(\omega t+\psi )$ ，需要频率、振幅和相位，三者缺一不可，其中频率由x轴给出，而振幅和相位可以由复数准确表达。对于复数 $a+bi$ ，其振幅 A 和相位 $\psi$ 如下：（注：MATLAB中fft函数的结果即采用这样这种方式表达）

$A=\sqrt(a^2+b^2)$

$\psi=\arctan (b/a)$

PS 来源：百度知道，但有部分修改！

二、本质原因之FFT的计算原理（关键）

要从本质上解释为什么快速傅里叶变换的结果是复数，需要理解快速傅里叶变换的计算原理。可参考如下帖子，写的十分优秀且详细！

十分简明易懂的FFT（快速傅里叶变换）

快速傅里叶变换（FFT）详解

三、MATLAB中fft函数说明

以下内容在MATLAB快速傅里叶变换（fft）函数详解的基础上修改！

函数形式

（1） Y = fft（y）;

（2） Y = fft（y，N）;

式中，y是序列，Y是序列的快速傅里叶变换。y可以是一向量或矩阵，若y为向量，则Y是y的FFT，并且与y具有相同的长度。若y为一矩阵，则Y是对矩阵的每一列向量进行FFT。

参数说明

1. 函数fft返回值的数据结构具有对称性

根据采样定理，fft能分辨的最高频率为采样频率的一半（即Nyquist频率），函数fft返回值是以Nyqusit频率为轴对称的，Y的前一半与后一半是复数共轭关系（复数共轭是因为快速傅里叶变换计算中单位根之间的复数共轭关系）。

2. 幅值

作FFT分析时，幅值大小与输入点数有关，要得到真实的幅值大小，只要将变换后的结果乘以2除以N即可（此时得到的单边谱），但此时单边谱的“零频分量”的幅值为实际值的2倍。对此的解释是：Y除以N得到双边谱，再乘以2得到单边谱，但零频在双边谱中本没有被一分为二，而转化为单边谱过程中所有幅值均乘以2，所以零频被放大了。在求解过程中，可以通过 P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1) 有效去除零频放大的问题。

3. 基频

若分析数据时长为T，则分析结果的基频就是f0=1/T，分析结果的频率序列为[0:LF-1]*f0

4. 执行N点FFT

在调用格式2中，函数执行N点FFT。若y为向量且长度小于N，则函数将y补零至长度N，若向量y的长度大于N，则函数截断y使之长度为N。使用N点FFT时，若N大于向量y的长度，将给频谱分析结果带来变化，应该特别注意，具体影响见下图。

四、 FFT求频率-幅值谱的MATLAB 代码

clc;
clear;
close all;
 
% 原信号
t = 0:0.01:2;
fs = 1 /0.01; % 采样频率
x = chirp(t,100,1,200,'quadratic');
LF=length(x);

% 傅里叶变换
xf_o=fft(x); % 傅里叶变换的结果是对称的，原因单位根之间存在复共轭，具体请阅读第二部分“FFT的计算原理”
f_o=(1:LF).*fs/LF; % 频率轴
xf_oc=fftshift(xf_o); % 将零频移动到输出的中心位置
f_oc=(floor(-LF/2):floor(LF/2)-1).*fs/LF;  % 频率轴

figure
subplot(311)
plot(t,x)
title('输入信号');xlabel('Time');ylabel('Amplitude');
subplot(312)
plot(f_o,xf_o) % xf_o是复数，但图形仅画实部，忽略虚部。
title('fft结果');xlabel('Frequency');ylabel('Real part of fft');
subplot(313)
plot(f_oc,xf_oc)
title('零频移动到输出中心的fft结果');xlabel('Frequency');ylabel('Real part of fft');


% 双边谱
xf_da=abs(xf_oc)/LF; % 归一化后的双边谱
f_d=(floor(-LF/2):floor(LF/2)-1).*fs/LF; % 频率轴

% 单边谱
xf_s=abs(xf_o)/LF; % 归一化的谱
xf_sa=xf_s(1:floor(LF/2)+1); 
xf_sa(2:end-1)=2*xf_sa(2:end-1); % 单边谱，且去除零频放大效应！
f_s=fs*(0:floor(LF/2))/LF; % 频率轴，根据采样定理，Nyquist频率是采样频率的一半！单位'Hz'

% 相位谱
xf_dp=angle(xf_o); % 单位是“弧度” ，与[xf_dp=phase(xf_o)]等价！
xf_p=xf_dp(1:floor(LF/2)+1); % 相位谱

figure
subplot(311)
plot(f_d,xf_da)
title('fft 双边频率-幅度谱');xlabel('Frequency');ylabel('Magnitude');
subplot(312)
plot(f_s,xf_sa)
title('fft 单边频率-幅度谱');xlabel('Frequency');ylabel('Magnitude');
subplot(313)
plot(f_s,xf_p)
title('fft 相位谱');xlabel('Frequency');ylabel('Phase (rad)');

结果1：fft的直接计算结果，仅画出实部，忽略虚部。结合第三部分参数说明“1函数fft返回值的数据结构具有对称性”理解。至于为什么对称，需要了解fft的计算原理！

结果2：简单而言，fft单边谱是双边谱的两倍，但需注意“零频”的放大效应！结合第三部分参数说明“2. 幅值”理解。

五、扩展阅读

（1）傅里叶变换概念及公式推导

（2）MATLAB中的快速傅里叶变换FFT与IFFT

（3）关于FFT的相位谱

（4）How to interpret FFT results – obtaining magnitude and phase information

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