图的最大独立集问题（MIS problem）是图论研究中的一个重要问题，具有广泛的应用。本文介绍了最大独立集求解相关的三篇工作，包括一篇启发式方法和两篇基于学习的方法，希望能让大家对这个问题有所了解。

问题定义

一个图G(V, E)的顶点集子集I称为图G的一个独立集（independent set）是指：I中任意两点没有边相连。图G中大小最大的独立集（拥有顶点数目最多）称为图G的最大独立集（maximum indepent set，MIS）。

与独立集类似的概念还有顶点覆盖（vertex cover）：称G的顶点子集C为G的一个顶点覆盖，是指C中包含G中任意一条边的至少一个顶点。大小最小的顶点覆盖称为图G的最小顶点覆盖（minimum vertex cover，MVC）。

例如下图中，可以找到如下最大独立集和最小顶点覆盖：

需要注意的是一个图的最大独立集和最小顶点覆盖可能不是唯一的。

读者可以容易地根据定义证明如下结论：I为G的（最大）独立集当且仅当V/I为G的（最小）顶点覆盖。

 

Computing A Near-Maximum Independent Set in Linear Time by Reducing-Peeling

原文《Computing A Near-MaximumIndependent Set in Linear Time by Reducing-Peeling》发表在SIGMOD2017。

文中针对真实图提出了求解MIS问题的框架——Reducing-Peeling框架，并结合该框架提出了四种启发式算法。这些算法可以高效地在线性时间复杂度或者近似线性时间复杂度下，近似求解真实图的独立集，实际实验中较好地验证了这一点。

论文地址：

https://dl.acm.org/doi/10.1145/3035918.3035939

问题引入

近年来，许多学者提出了不同的MIS求解方法，这些方法可以归为如下三类：

（1）精确算法。MIS问题是NP难的，暴力求解并适当剪枝的方法虽然能求出精确解，但通常需要指数时间复杂度，效率不高。

（2）近似算法。近似算法求解MIS的近似解，并给出误差上界，时间复杂度较精确算法得到很大改进。

（3）启发式算法。这是一类线性时间或近似线性时间的算法，通过贪心的方法，逐步扩大顶点集合，使其仍满足独立集的性质。缺点是得到得独立集是近似解，且没有误差估计。

作者通过观察真实图，发现有真实图的三种特征：（a）节点度数服从幂律（power-law），有很多节点度数很小。（b）一些约化规则（reduction rules）（什么是约化规则，下面有进一步介绍）可以高效去除一些度数低的节点，并保持求得独立集的最大性。（c）高度数节点比低度数节点有更小概率出现在最大独立集中。

故作者针对这三个特征，提出了reduction-peeling 框架来求解MIS问题，本质上属于启发式方法。

两种约化规则

本文作者介绍了两种约化规则，通过这两种规则，可以快速删去原图中度数较小的一些顶点以及其相邻的边，在简化问题规模的同时，还确保了原图和新图最大独立集的一致性。作者将这两种约化规则称为度数一约化（degree-one reduction）和度数二约化（degree-two reduction）。

度数一约化是指若删去原图中与度数为1的节点u相邻的节点v以及v的所有相邻边，图的最大独立集不会改变。

度数二约化相对比较复杂：记图中度数为2的节点u的两个邻居为w和v，若w和v有边相连，则可以将w和v两个顶点删除；若w和v没有边相连，则可以将u、v和w三个顶点缩为一点，求解出新图的最大独立集后，将其还原（独立集大小加1）。如下所示：其中G\S表示在图G中删去顶点集S和相邻边，G/S代表将图G中顶点集S收缩为一点，表示图G的最大独立集大小。

Reduction-peeling 框架

这是本文四种算法的框架，主要思想为通过约化缩小问题规模，当没有约化规则适用时，则直接删去度数最大的节点（基于观察c）。最终得到一个只有孤立点的图，其中点构成了原图的一个独立集。框架的伪代码如下所示：

在 reduction-peeling 框架中应用度数一约化和度数二约化，就得到了本文中的BDOne算法和BDTwo算法：

线性时间算法和近似线性时间算法

尽管BDTwo算法可以得到很好的结果，但其时间复杂度较高（后面有时间复杂度比较），为了简化过程，作者又提出了两种约化方法——度数二路径约化（degree-two path reduction）和支配约化（dominance reduction）（具体可参考原文），并结合reduction-peeling 框架，提出了线性时间（linear time）算法和近似线性时间（near linear time）算法，效率有较大提升，伪代码如下所示：

实验分析

作者分析了本文中四种算法的时间和空间复杂度，较精确算法提升很大：

并与其他方法做了对比分析：

可以发现近似线性算法取得的效果是最优的（求得的独立集大小近似等于最大独立集大小），作者也比较了不同算法的运行时间和内存占用（具体可参考原文），结果表明本文方法具有一定优越性。

Combinatorial Optimization with Graph Convolutional Networks and Guided Tree Search

原文《Combinatorial Optimization with Graph Convolutional Networks and Guided Tree Search》发表在NIPS 2018。

本文通过训练图神经网络，预测图中每个节点出现在问题结果集中的可能性，来解决一类求解NP难的图问题，例如MIS、MVC等（近似解）。

论文地址：

https://dl.acm.org/doi/10.5555/3326943.3326993

问题引入

近年来，出现了很多基于学习（learning based）的方法求解NP难的问题。通常对于NP难的问题，如果在意运行时间，我们只能寄希望于启发式方法。而基于学习的方法通常能通过大量训练数据，发现人类设计者难以察觉的模式和规则帮助问题的求解。

本文主要研究如下四种与图相关的NP难问题：最大独立集（maximum independent set，MIS）、最小顶点覆盖（minimum vertex cover，MVC）、最大团（maximal clique，MC）和可满足性（satisfiability，SAT）。这四类问题可以在多项式时间内相互转化，具体可查看原文附录（MIS和MVC的等价性在问题定义部分已经介绍）。本文主要研究图神经网络解决MIS问题。

初始方法

作者先提出了应用图神经网络解MIS问题的初始方法。

记为待求解MIS的图，为顶点集合，顶点个数为N，为邻接矩阵，是对称阵（图为无向图）。主体思想为训练一个神经网络，输入为1代表该点应包含在MIS的解中，0代表该点不包含在MIS的解中。但一般这样的直接预测可能不能保证独立性，所以还需要后期处理。网络采用基础的图卷积网络

其中

为第l层特征（初始赋值为全1向量），

和

为第l层可学习的参数，D为图的度数对角矩阵，为激活函数（除最后一层使用sigmoid，其他层使用ReLU）。可以看出，由于第l层的网络参数与具体图数据无关，故此网络可以适用于任何图MIS的求解。给定训练数据集

，则可采用交叉熵损失函数

（第i个训练样本的损失）。

虽然我们希望网络 能直接输出1或0代表该点是否应当出现在MIS的解中，但我们并不能直接这样处理，原因有二：（1）最后一层网络的输出是取值是[0, 1]中的数，并不一定恰好等于1或0；（2）即便输出是0或1，这样的解甚至有可能不构成独立集。

为解决这个问题，作者提出了将图中各点按照网络输出值从大到小排序，取值较大代表该点更有可能出现在MIS的解中，由此逐步构造一个独立集，伪代码如下所示：

改进算法

前面提到的基础算法仍有一些细节上没有解决的问题，例如，怎么区别同一图中的多个MIS解？比如下面的图示中，任意对角的两点都构成MIS，网络给出的输出可能四个点值都是相同的：

为解决这个问题，作者又提出了初始方法的改进版本：

同时训练M个网络，取训练样本的损失为这M个网络中最小的损失，这使得样本损失只由最适合（损失最小）的那个网络决定，可以学习到多样化的解。伪代码如下：

实验分析

作者对比了不同方法求解MIS和MVC问题的效果和时间（时间比较可查看原文），发现本文提出的方法在选定的数据集上都取得了最好的效果（注意MVC解集越小越好）：

Learning What to Defer for Maximum Independent Sets

本文通过强化学习的方式，引入马尔可夫决策过程，逐步往解集中加点解决MIS问题。

论文地址：

https://arxiv.org/abs/2006.09607

学习推迟

本文作者采用学习推迟（learning what to defer，LwD）的方法来逐步生成MIS问题的解集。其主要思想为：当前阶段可以判断是否出现在MIS解集，那我们就先做判断；若当前阶段尚且无法判断某点的归属（是否属于解集），那我们则将这个判断留到之后的阶段。这样的方式比较适合MIS这类跟图局部特征有关的问题，并且效果比一般的贪心算法要好，因为它可以同时对很多点做判断。

框架介绍

设图为，MIS本质是求一向量，并且使最大化。

我们便可引入马尔可夫决策过程：节点状态空间为

，其中*代表当前节点状态未定；1代表该节点出现在MIS解集中；0代表不出现在MIS解集中。初始时刻每个节点的状态都是*。终止条件为每个节点都赋有非未定状态，或者运行时间超过设定的阈值。

每一步，我们给未定状态的节点一个行动（action）用来更新节点状态，

，其中

代表当前步骤状态未定的节点集。状态更新包含两步：update和clean up。update直接将状态未定的节点赋状态为行动值，clean up主要包含三类操作：（1）将某些只和状态0节点相连的节点的状态置为1。（2）回退两个状态为1且相邻的节点的状态为*。（3）将某些与状态1节点相连的节点的状态置为0。下面的状态图展示了如上的更新步骤：

 那如何通过学习的方式得到这样的行动a呢？作者采用了图神经网络的方式：

，初始化H包括每个节点的度数和相应轮次（需要做归一化）。最后一层网络采用softmax就能产生一个行动a。具体训练步骤和过程可以参考原文。

实验分析

作者同样在一些数据集上做了实验，提出的方法在某些场景下能够取得很好的效果：

总结

本文通过介绍三篇与最大独立集计算有关的三篇工作，我们能对这个图计算问题有个简单直观的印象。如何设计效果更好的启发式或学习型的新算法仍需要我们继续探索。