保守场的旋度为零,静电场是静止电荷激发的,作为保守场无旋有源,所以
∮
l
E
⃗
d
l
=
e
i
=
0
\oint_{l}{\vec{E}dl=ei=0}
∮lEdl=ei=0
非保守场的旋度不为零,感生电场是磁场激发的,作为非保守场(有源场)无旋有源,所以
∮
l
E
⃗
d
l
=
e
i
≠
0
\oint_{l}{\vec{E}dl=ei\neq0}
∮lEdl=ei=0
于是我们开始从电磁场引出时变电磁场
1. 关于环路定理的变换
首先明确环路定理可以从能量做功的角度(位置功只与位置相关)推导出来(
W
=
q
∫
l
E
⃗
d
l
W=q\int_{l}\vec{E}dl
W=q∫lEdl) 所以在静电场中的基本方程之一:电场闭合环路积分为零 在这里不再适用。引出了时变电场的环路定理:
∮
l
E
⃗
d
l
=
e
i
≠
0
\oint_{l}{\vec{E}dl=ei\neq0}
∮lEdl=ei=0
2. 关于随时间而变化的电场
E
=
E
库
+
E
i
E=E_库+E_i
E=E库+Ei 所以当对两边积分的时候,库仑电场的积分为零,感应电场的积分由感生电动势和动生电动势共同组成(这里注意分开计算的时候其中的感生电动势是不考虑面积变化的,当你考虑了面积变化就相当于通过变化磁通微分来直接计算) 通过两边积分后引用面积分线积分之间的转换,可以得到(注意下面公司中向量将省去箭头)
∇
×
E
⃗
=
−
∂
B
∂
t
+
∇
×
(
∇
v
×
B
)
\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial B}{\partial t}+\nabla\times(∇v×B)
∇×E=−∂t∂B+∇×(∇v×B)其中
∇
×
(
∇
v
×
B
)
\nabla\times(∇v×B)
∇×(∇v×B)在我们讨论时变磁场是默认为零不在讨论。
我们可以引入复数形式来方便计算。复数形式中微分和积分将会简化为普通乘法计算,对于整理极为方便。详细推导个人感觉邹澎书的推导过程更易接受。但是其中有一些没有铺垫的部分,下面也会提到。 整个复数形式的核心:①
E
⃗
(
x
,
y
,
z
,
t
)
=
E
⃗
˙
(
x
,
y
,
z
)
e
j
ω
t
\vec{E}(x,y,z,t)=\dot{\vec{E}}(x,y,z)e^{jωt}
E(x,y,z,t)=E˙(x,y,z)ejωt ②
E
⃗
˙
(
x
,
y
,
z
)
=
E
m
e
˙
i
φ
=
E
m
⋅
e
⃗
⋅
e
i
φ
\dot{\vec{E}}(x,y,z)=\dot{E_me}^{i\varphi}=E_m·\vec{e}·e^{i\varphi}
E˙(x,y,z)=Eme˙iφ=Em⋅e⋅eiφ (后面的
E
x
1
˙
=
E
m
1
+
˙
e
−
γ
z
+
E
m
1
−
˙
e
γ
z
\dot{E_{x1}}=\dot{E_{m1}^+}e^{-\gamma z}+\dot{E_{m1}^-}e^{\gamma z}
Ex1˙=Em1+˙e−γz+Em1−˙eγz只是根据波动方程得到的关于解的形式,切记和这里的e是没有关系的)
引三
从而引出复数形式的麦克斯韦方程组
为什么要把第一个式子单独截出来呢?因为这个是后面讨论的重点。 我们先从简单地出发,如果是在理想介质中,Jm便是零,从而第一个式子右端只剩下D项。于是我们可以通过对第二个式子两端同时求旋度,并继续使用我们在时变电场中提到的
∇
×
∇
×
A
=
∇
(
∇
∙
A
)
−
∇
2
A
\nabla\times\nabla\times A= \nabla(\nabla\bullet A)-\nabla^2 A
∇×∇×A=∇(∇∙A)−∇2A来化简,得到在理想介质中的波动方程:
①
∇
2
E
⃗
−
1
v
2
∂
2
E
⃗
∂
t
2
=
0
\nabla^2\vec{E}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}=0
∇2E−v21∂t2∂2E=0
②
∇
2
H
⃗
−
1
v
2
∂
2
H
⃗
∂
t
2
=
0
\nabla^2\vec{H}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\vec{H}}{\partial t^2}=0
∇2H−v21∂t2∂2H=0
我们发现其中有两个未知量,EH。E和H有什么关系?暂时有两个我们需要记住的关系,一是他们的叉乘等于玻印亭矢量,同时波印廷矢量平均值的复数形式表示为
S
a
v
=
1
2
R
e
[
E
˙
×
H
˙
∗
]
S_{av}=\frac{1}{2}Re[\dot{E}\times{\dot{H}}^*]
Sav=21Re[E˙×H˙∗](1/2可以这样简单理解:cos函数的平均值是多少?初中就知道是1/2。不严谨但是好记)。二是麦克斯韦方程组的第二个公式。在后面的推导中第二个公式起到了连接E和H的关键作用。 于是我们尝试解E和H。引入复数来简化,同时我们假定这个波是沿着z方向运动的平面电磁波。通过简单的计算我们可以得到一个同一形式:
这里注意,不同的教材上面设定的k不太一样。这里是设定
k
=
w
μ
ε
k=w\sqrt{\mu\varepsilon}
k=wμε,有一些是设定
k
=
j
w
μ
ε
k=jw\sqrt{\mu\varepsilon}
k=jwμε,无伤大雅。其目的最终都是化简。配合微积分知识以及傅里叶变换可以得到瞬时形式:
同时我们把两者的比值称为波阻抗。由于波阻抗是个常数,我们需要思考,随着时间t和x变化的E和H怎样才能比值为常数呢?使得两者和x和t都无关即可,也就是wt-kz等于零。于是我们知道了
v
=
w
k
v=\frac{w}{k}
v=kw。记住这个公式我们在后面损失媒质中还会使用。 接下来我们讨论损失媒质 损失媒质中电导率γ不再是零,所以波动方程不再是简单地两项而是三项。
①
∇
2
E
⃗
−
μ
ε
∂
2
E
⃗
∂
t
2
−
μ
γ
∂
E
⃗
∂
t
=
0
\nabla^2\vec{E}-\mu\varepsilon\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}-\mu\gamma\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}=0
∇2E−με∂t2∂2E−μγ∂t∂E=0
②
∇
2
H
⃗
−
μ
ε
∂
2
H
⃗
∂
t
2
−
μ
γ
∂
H
⃗
∂
t
=
0
\nabla^2\vec{H}-\mu\varepsilon\frac{\partial^2\vec{H}}{\partial t^2}-\mu\gamma\frac{\partial\vec{H}}{\partial t}=0
∇2H−με∂t2∂2H−μγ∂t∂H=0
为了和理想介质中统一,我们设定了新的变量(下图符号有所不同)
我们可以设定新的
k
′
=
w
μ
ε
c
k'=w\sqrt{\mu\varepsilon_c}
k′=wμεc,至此上面的便和上面的形式相统一了。但是注意这里的k’是一个全复数,有实部和虚部共同组成,即k=α+jβ,我们也可以得到下面的式子(其中附加相位可有可无,不影响整体):
引用我们刚才的思想,如果让波阻抗等于常数,就让
v
=
w
β
v=\frac{w}{β}
v=βw。其中α和β如下:
那么我们开始考虑,其中的
γ
2
w
2
ε
2
\frac{\gamma^2}{w^2\varepsilon^2}
w2ε2γ2对于值的影响。在导电媒质中,强导电媒质γ很大,
γ
2
w
2
ε
2
≫
1
\frac{\gamma^2}{w^2\varepsilon^2}\gg1
w2ε2γ2≫1,所以可以得到