基础鲸鱼算法的具体原理参考，我的博客：https://blog.csdn.net/u011835903/article/details/107559167
研究表明
[
13
]
{ }^{[13]}
[13], 初始种群的好坏影响着算法的求 解精度和收玫速度, 多样性较好的初始种群对提升算 法性能很有帮助. 然而, WOA算法在求解优化问题时 通常采用随机方法产生初始种群, 可能使得初始种群 分布不均, 导致初始种群多样性较差. 此外, 由于对优 化问题的全局最优解没有任何先验知识, 应尽可能使 种群均匀分布在搜索空间. 为了增强种群的多样性 并提高求解效率, 为算法进行全局搜索奠定多样性基 础, CWOA算法采用混沌反向学习初始化策略. 首先 利用混沌变量的随机性、遍历性和规律性特征, 产生 具有较好多样性的混沌初始种群; 其次通过对混沌 初始种群及其反向种群进行排序选择, 将适应度值较 优的解作为初始种群, 提高求解效率.
假设种群规模为
N
N
N, 采用具有较好遍历均匀性和 较快迭代速度的 Tent混沌映射在
D
D
D 维欧氏空间中生 成混沌序列
y
=
{
y
d
,
d
=
1
,
2
,
⋯
,
D
}
,
y
d
=
{
y
i
d
,
i
=
y=\left\{y_{d}, d=1,2, \cdots, D\right\}, y_{d}=\left\{y_{i d}, i=\right.
y={yd,d=1,2,⋯,D},yd={yid,i=
1
,
2
,
⋯
,
N
}
1,2, \cdots, N\}
1,2,⋯,N}, Tent混沌映射函数表达式
[
14
]
{ }^{[14]}
[14] 为
y
i
+
1
,
d
=
{
2
y
i
d
,
y
i
d
<
0.5
2
(
1
−
y
i
d
)
,
y
i
d
⩾
0.5.
(8)
y_{i+1, d}=\left\{\begin{array}{l} 2 y_{i d}, y_{i d}<0.5 \\ 2\left(1-y_{i d}\right), y_{i d} \geqslant 0.5 . \end{array}\right.\tag{8}
yi+1,d={2yid,yid<0.52(1−yid),yid⩾0.5.(8)
将混沌序列映射到解空间中, 得到种群
X
=
X=
X=
{
X
i
,
i
=
1
,
2
,
⋯
,
N
}
,
X
i
=
{
X
i
d
,
d
=
1
,
2
,
⋯
,
D
}
\left\{X_{i}, i=1,2, \cdots, N\right\}, X_{i}=\left\{X_{i d}, d=1,2, \cdots, D\right\}
{Xi,i=1,2,⋯,N},Xi={Xid,d=1,2,⋯,D}, 种群个体
X
i
d
X_{i d}
Xid 表示为
X
i
d
=
X
min
d
+
y
i
d
⋅
(
X
max
d
−
X
min
d
)
.
(9)
X_{i d}=X_{\min d}+y_{i d} \cdot\left(X_{\max d}-X_{\min d}\right) . \tag{9}
Xid=Xmind+yid⋅(Xmaxd−Xmind).(9)
其中:
X
i
d
X_{i d}
Xid 为第
i
i
i 个种群个体的第
d
d
d 维码值,
X
min
d
X_{\min d}
Xmind 和
X
max
d
X_{\max d}
Xmaxd 为
X
i
d
X_{i d}
Xid 的搜索上下界.
由种群
X
X
X 计算反向种群
O
X
=
{
O
X
i
,
i
=
1
,
2
\mathrm{OX}=\left\{\mathrm{OX}_{i}, i=1,2\right.
OX={OXi,i=1,2,
⋯
,
N
}
,
O
X
i
=
{
O
X
i
d
,
d
=
1
,
2
,
⋯
,
D
}
\cdots, N\}, \mathrm{OX}_{i}=\left\{\mathrm{OX}_{i d}, d=1,2, \cdots, D\right\}
⋯,N},OXi={OXid,d=1,2,⋯,D}, 反向种群 个体
O
X
i
d
\mathrm{OX}_{i d}
OXid 表示为
O
X
i
d
=
X
min
d
+
X
max
d
−
X
i
d
.
(10)
\mathrm{OX}_{i d}=X_{\min d}+X_{\max d}-X_{i d} . \tag{10}
OXid=Xmind+Xmaxd−Xid.(10)
种群
X
X
X 与反向种群
O
X
\mathrm{OX}
OX 合并, 得到新种群
{
X
\{X
{X UOX}. 计算新种群的目标函数值并排序, 选取其中 适应度值最好的
N
N
N 个个体作为初始种群.
在WOA算法中,收敛因子a随迭代次数的增加由2线性减小到0,属于线性时变更新策略. 然而,收敛因子a的线性时变更新策略不能完全体现出实际WOA 算法的优化搜索过程. 文献 [11] 提出了一种非线性收敛因子,在搜索前期以较小的值随迭代次数增加而递增,当增大到一个较大值后,再快速递减到一个较小值,最后以较慢的速度再递增,属于非线性时变更新策略. 本文采用具有较好遍历性的逻辑自映射函数产生混沌序列
[
15
]
{ }^{[15]}
[15], 进而对收玫因子进行混沌 扰动, 提出一种带混沌扰动的收敛因子非线性时变更 新策略, 收敛因子更新公式为
a
=
a
initial
⋅
∣
y
t
∣
−
(
a
initial
−
a
final
)
⋅
tan
(
0.875
⋅
t
t
max
)
(11)
a=a_{\text {initial }} \cdot\left|y^{t}\right|-\left(a_{\text {initial }}-a_{\text {final }}\right) \cdot \tan \left(0.875 \cdot \frac{t}{t_{\max }}\right) \tag{11}
a=ainitial ⋅∣
∣yt∣
∣−(ainitial −afinal )⋅tan(0.875⋅tmaxt)(11)
其中:
a
initial
a_{\text {initial }}
ainitial 和
a
final
a_{\text {final }}
afinal 分别为收敛因子
a
a
a 的初值和终 值;
y
t
=
1
−
2
(
y
t
−
1
)
2
,
y
t
∈
(
−
1
,
1
)
y^{t}=1-2\left(y^{t-1}\right)^{2}, y^{t} \in(-1,1)
yt=1−2(yt−1)2,yt∈(−1,1) 为自逻辑映射函数 产生的混沌序列.
通过施加带混沌扰动的收敛因子非线性时变更 新策略, 在一定程度上提升了算法性能. 然而, 当涉 及到时变更新策略时, 单独依靠收玫因子并不能在 种群全局探索能力与局部开发能力之间进行有效平 衡. 因此, CWOA算法借鉴PSO算法, 引入惯性权重配 合收敛因子共同调节种群全局探索能力和局部开发 能力, 惯性权重更新策略同样选择带混沌扰动的非线 性时变更新策略. 惯性权重更新公式为
ω
=
ω
final
⋅
∣
y
t
∣
+
(
ω
initial
−
ω
final
)
⋅
(
t
max
−
t
t
max
)
2
(12)
\omega=\omega_{\text {final }} \cdot\left|y^{t}\right|+\left(\omega_{\text {initial }}-\omega_{\text {final }}\right) \cdot\left(\frac{t_{\max }-t}{t_{\max }}\right)^{2} \tag{12}
ω=ωfinal ⋅∣
∣yt∣
∣+(ωinitial −ωfinal )⋅(tmaxtmax−t)2(12)
其中
ω
initial
\omega_{\text {initial }}
ωinitial 和
ω
final
\omega_{\text {final }}
ωfinal 分别为惯性权重
ω
\omega
ω 的初值和终值.
通过收玫因子和惯性权重混沌扰动协同更新, 当 前个体的位置更新和螺旋更新位置公式分别为
X
t
+
1
=
ω
⋅
X
gbest
t
−
A
⋅
∣
C
⋅
X
gbest
t
−
X
t
∣
(13)
X^{t+1}=\omega \cdot X_{\text {gbest }}^{t}-A \cdot\left|C \cdot X_{\text {gbest }}^{t}-X^{t}\right| \tag{13}
Xt+1=ω⋅Xgbest t−A⋅∣
∣C⋅Xgbest t−Xt∣
∣(13)
X t + 1 = ω ⋅ X gbest t + D ⋅ e b l ⋅ cos ( 2 π l ) (14) \begin{aligned} &X^{t+1}=\omega \cdot X_{\text {gbest }}^{t}+D \cdot \mathrm{e}^{b l} \cdot \cos (2 \pi l) \end{aligned}\tag{14} Xt+1=ω⋅Xgbest t+D⋅ebl⋅cos(2πl)(14)
WOA算法迭代后期, 由于群体中所有鲸鱼个体 均向最优个体位置聚集, 从而导致群体内多样性缺 失, 算法过早收敛到一种非全局最优状态, 出现早 熟收玫现象. 为了减少 WOA 算法出现早熟收敛现 象的概率, CWOA算法通过对当前最优鲸鱼个体施 加混沌搜索策略, 以当前搜索到最优个体位置向量 X gbest t = ( X gbest 1 t , X gbest 2 t , ⋯ , X gbest D t ) X_{\text {gbest }}^{t}=\left(X_{\text {gbest } 1}^{t}, X_{\text {gbest } 2}^{t}, \cdots, X_{\text {gbest } D}^{t}\right) Xgbest t=(Xgbest 1t,Xgbest 2t,⋯,Xgbest Dt) 为基础, 将 当前最优个体位置向量线性映射到混沌变量的取值 区间,利用混沌变量的随机性、遍历性和规律性等内 在特性进行混沌优化搜索, 最终将获得的混沌优化解 线性转换到优化空间, 此时的混沌优化本质上是一种 深度局部搜索方法. 混沌搜索主要步骤如下.
Step 1: 按照 y gbest d = 2 ( X gbest d − X min d ) X max d − X min d − 1 y_{\text {gbest } d}=\frac{2\left(X_{\text {gbest } d}-X_{\min d}\right)}{X_{\max d}-X_{\min d}}-1 ygbest d=Xmaxd−Xmind2(Xgbest d−Xmind)−1 将当前最优个体位置向量的每一维映射到区间 ( − 1 (-1 (−1, 1).
Step 2: 将混沌变量加载于待搜索的个体变量 y gbest d y_{\text {gbest } d} ygbest d, 即将 y gbest d y_{\text {gbest } d} ygbest d 代入逻辑自 映射函数 y gbest d t c = y_{\text {gbest } d}^{t_{c}}= ygbest dtc= 1 − 2 ( y gbest d t c − 1 ) 2 1-2\left(y_{\text {gbest } d}^{t_{c}-1}\right)^{2} 1−2(ygbest dtc−1)2 进行迭代, 产生混沌序列 y gbest d t c ( t c = y_{\text {gbest } d}^{t_{c}}\left(t_{c}=\right. ygbest dtc(tc=
1 , 2 , ⋯ , t c max ) \left.1,2, \cdots, t_{c \max }\right) 1,2,⋯,tcmax). 其中: t c max t_{c \max } tcmax 为混沌搜索的最大迭代 次数, y gbest d t c ∈ ( − 1 , 1 ) y_{\text {gbest } d}^{t_{c}} \in(-1,1) ygbest dtc∈(−1,1).
Step 3: 利用式 X gbest d ′ = 1 2 ( X max d − X min d ) × X_{\text {gbest } d}^{\prime}=\frac{1}{2}\left(X_{\max d}-X_{\min d}\right) \times Xgbest d′=21(Xmaxd−Xmind)× y gbest d + 1 2 ( X max d − X min d ) y_{\text {gbest } d}+\frac{1}{2}\left(X_{\max d}-X_{\min d}\right) ygbest d+21(Xmaxd−Xmind) 将 y gbest d y_{\text {gbest } d} ygbest d 载波到原搜索 空间邻域内以产生新最优个体位置向量 X gbest ′ X_{\text {gbest }}^{\prime} Xgbest ′.
Step 4: 对 X gbest X_{\text {gbest }} Xgbest 和 X gbest ′ X_{\text {gbest }}^{\prime} Xgbest ′ 进行适应度函数值评 价,更新当前最优个体位置.
Step 5: 判断是否达到最大混沌搜索次数, 如果 是, 则终止混沌搜索, 否则转入 Step 2 .
综上所述, CWOA算法步骤的伪代码表示如下：
begin
初始化算法参数, 按照
2.1
2.1
2.1 节所述的混沌反向学 习初始化策略产生初始化鲸鱼种群
{
X
i
,
i
=
1
,
2
\left\{X_{i}, i=1,2\right.
{Xi,i=1,2,
⋯
,
N
}
\cdots, N\}
⋯,N}
计算群体中每个个体的适应度值
{
F
(
X
i
)
,
i
=
1
\left\{F\left(X_{i}\right), i=1\right.
{F(Xi),i=1,
2
,
⋯
,
N
}
2, \cdots, N\}
2,⋯,N}, 记录当前最优个体位置.
while
(
t
<
t
max
)
\left(t<t_{\max }\right)
(t<tmax) do
for
i
=
1
i=1
i=1 to
N
N
N do
根据式 (11) 计算收敛因子
a
a
a 的值;
根据式 (12) 计算惯性权重
ω
\omega
ω 的值.
if (p < 0.5) do
if (|A| < 1) do
按照式(13)更新当前个体位置.
else if (|A| ⩾ 1) do
按照式(7)更新当前个体位置.
end if
else if (p ⩾ 0.5) do
按照式(14)更新当前个体位置.
end if
end for
按照2.3节所述策略执行最优个体混沌搜索;
更新当前最优个体位置.
t = t + 1.
end while
end
[1]王坚浩,张亮,史超,车飞,丁刚,武杰.基于混沌搜索策略的鲸鱼优化算法[J].控制与决策,2019,34(09):1893-1900.
