今天面试字节算法岗时被问到的问题，让我用C++实现一个softmax函数。softmax是逻辑回归在多分类问题上的推广。大概的公式如下：
i
n
p
u
t
:
{
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
}
s
o
f
t
m
a
x
(
x
t
)
=
e
x
t
∑
i
=
1
n
e
x
i
input: \{x_1, x_2,\cdots, x_n\}\\ softmax(x_t)=\frac{e^{x_t}}{\sum_{i=1}^{n}e^{x_i}}
input:{x1,x2,⋯,xn}softmax(xt)=∑i=1nexiext
即判断该变量在总体变量中的占比。
我们用vector来封装输入和输出，简单的按公式复现。
vector<double> softmax(vector<double> input)
{
double total=0;
for(auto x:input)
{
total+=exp(x);
}
vector<double> result;
for(auto x:input)
{
result.push_back(exp(x)/total);
}
return result;
}
经过简单测试是正常的。
但是这时面试官提出了一个问题，即如果有较大输入变量时会怎么样？
由于
e
1000
e^{1000}
e1000已经溢出了双精度浮点(double)所能表示的范围，所以变成了NaN(not a number)。
我们注意观察softmax的公式:
i
n
p
u
t
:
{
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
}
s
o
f
t
m
a
x
(
x
t
)
=
e
x
t
∑
i
=
1
n
e
x
i
input: \{x_1, x_2,\cdots, x_n\}\\ softmax(x_t)=\frac{e^{x_t}}{\sum_{i=1}^{n}e^{x_i}}
input:{x1,x2,⋯,xn}softmax(xt)=∑i=1nexiext
如果我们给上下同时乘以一个很小的数，最后答案的值是不变的。
那我们可以给每一个输入
x
i
x_i
xi都减去一个值
a
a
a，防止爆精度。
大致表示如下:
e
x
t
∑
i
=
1
n
e
x
i
=
e
x
t
⋅
e
−
a
e
−
a
⋅
∑
i
=
1
n
e
x
i
=
e
x
t
⋅
e
−
a
∑
i
=
1
n
e
x
i
⋅
e
−
a
=
e
x
t
−
a
∑
i
=
1
n
e
x
i
−
a
\frac{e^{x_t}}{\sum_{i=1}^{n}e^{x_i}}= \frac{e^{x_t}\cdot e^{-a}}{e^{-a}\cdot \sum_{i=1}^{n}e^{x_i}}= \frac{e^{x_t}\cdot e^{-a}}{ \sum_{i=1}^{n}e^{x_i}\cdot e^{-a}}= \frac{e^{x_t-a}}{ \sum_{i=1}^{n}e^{x_i-a}}
∑i=1nexiext=e−a⋅∑i=1nexiext⋅e−a=∑i=1nexi⋅e−aext⋅e−a=∑i=1nexi−aext−a
那我们如何取这个
a
a
a的值呢？直接取输入中最大的那个即
m
a
x
(
x
i
)
max(x_i)
max(xi)就好啦，这样所有的
e
x
i
−
a
e^{x_i-a}
exi−a的值都不会超过
e
0
=
1
e^0=1
e0=1，更不可能爆精度了。
vector<double> softmax(vector<double> input)
{
double total=0;
double MAX=input[0];
for(auto x:input)
{
MAX=max(x,MAX);
}
for(auto x:input)
{
total+=exp(x-MAX);
}
vector<double> result;
for(auto x:input)
{
result.push_back(exp(x-MAX)/total);
}
return result;
}
我们发现结果正常了。
#include <iostream>
#include <vector>
#include <math.h>
using namespace std;
vector<double> softmax(vector<double> input)
{
double total=0;
double MAX=input[0];
for(auto x:input)
{
MAX=max(x,MAX);
}
for(auto x:input)
{
total+=exp(x-MAX);
}
vector<double> result;
for(auto x:input)
{
result.push_back(exp(x-MAX)/total);
}
return result;
}
int main(int argc, char *argv[])
{
int n;
cin>>n;
vector<double> input;
while(n--)
{
double x;
cin>>x;
input.push_back(x);
}
for(auto y:softmax(input))
{
cout<<y<<' ';
}
}