一个排列中的某两个数字，如果前面的数大于后面的数，那么它们就是一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。逆序数用 τ ( j 1 j 2 . . . j n ) \tau(j_1j_2...j_n) τ(j1j2...jn)表示，其中 j 1 j 2 . . . j n j_1j_2...j_n j1j2...jn就是n个数字的一个排列。
【例1】 τ(1234) = 0，因为1234就是按大小顺序排的
【例2】 τ(2134) = 1，因为只有21是一对逆序。23，24，13，14，34都是顺序
【例3】 τ(4123) = 3，其中41，42，43是三个逆序，其他是顺序
【例4】 τ(4321) = 6 (= 3+2+1 = C42)
上例中相比例1，例2相当于调换了1和2的位置；例3相当于调换了1和4的位置。
在排列中调换了一对数，逆序数由偶数变为了奇数，这并非巧合。我们有以下结论：
在排列中如果调换两个数的位置，则逆序数的奇偶性发生改变。
∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ = ∑ j 1 j 2 . . . j n ( − 1 ) τ ( j 1 j 2 . . . j n ) a 1 j 1 a 2 j 2 . . . a n j n \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ a_{21}&a_{22} &\cdots &a_{2n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1}&a_{n2} &\cdots&a_{nn} \\ \end{vmatrix} = \sum_{j_1j_2...j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}...\ a_{nj_n} ∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=j1j2...jn∑(−1)τ(j1j2...jn)a1j1a2j2... anjn
其中 j 1 j 2 . . . j n j_1j_2...j_n j1j2...jn是 n n n元排列， ∑ j 1 j 2 . . . j n \sum_{j_1j_2...j_n} ∑j1j2...jn 表示对所有n元排列的情况求和。
行列式不但可以按列展开，也可以按行展开
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
=
∑
i
1
i
2
.
.
.
i
n
(
−
1
)
τ
(
i
1
i
2
.
.
.
i
n
)
a
i
1
1
a
i
2
2
.
.
.
a
i
n
n
\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ a_{21}&a_{22} &\cdots &a_{2n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1}&a_{n2} &\cdots&a_{nn} \\ \end{vmatrix} = \sum_{i_1i_2...i_n}(-1)^{\tau(i_1i_2...i_n)}a_{i_11}a_{i_22}...\ a_{i_nn}
∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=i1i2...in∑(−1)τ(i1i2...in)ai11ai22... ainn
这意味着，在行列式中，行和列的地位是一样的！
【例1】二阶行列式
∣
a
11
a
12
a
21
a
22
∣
=
a
11
a
22
−
a
12
a
21
\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
∣∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣∣=a11a22−a12a21
【例2】 上三角行列式
∣
a
11
a
12
a
13
⋯
a
1
,
n
−
2
a
1
,
n
−
1
a
1
n
0
a
22
a
23
⋯
a
2
,
n
−
2
a
2
,
n
−
1
a
2
n
0
0
a
33
⋯
a
3
,
n
−
2
a
3
,
n
−
1
a
3
n
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
0
0
0
⋯
0
a
n
−
1
,
n
−
1
a
n
−
1
,
n
0
0
0
⋯
0
0
a
n
n
∣
=
a
11
a
22
.
.
.
a
n
n
\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} &\cdots &a_{1,n-2} &a_{1,n-1}&a_{1n} \\ 0 &a_{22} &a_{23}&\cdots &a_{2,n-2} &a_{2,n-1} &a_{2n}\\ 0 &0 &a_{33} &\cdots &a_{3,n-2} &a_{3,n-1} &a_{3n}\\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\ 0 &0 &0 &\cdots &0 &a_{n-1,n-1} &a_{n-1,n} \\ 0 &0 &0 &\cdots &0 &0 &a_{nn} \\ \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}...a_{nn}
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1100⋮00a12a220⋮00a13a23a33⋮00⋯⋯⋯⋱⋯⋯a1,n−2a2,n−2a3,n−2⋮00a1,n−1a2,n−1a3,n−1⋮an−1,n−10a1na2na3n⋮an−1,nann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=a11a22...ann
行列互换（转置），行列式的值不变，即
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
=
∣
a
11
a
21
⋯
a
n
1
a
12
a
22
⋯
a
n
2
⋮
⋮
⋮
a
1
n
a
2
n
⋯
a
n
n
∣
\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ a_{21}&a_{22} &\cdots &a_{2n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1}&a_{n2} &\cdots&a_{nn} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{21} &\cdots &a_{n1} \\ a_{12}&a_{22} &\cdots &a_{n2} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{1n}&a_{2n} &\cdots&a_{nn} \\ \end{vmatrix}
∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a12⋮a1na21a22⋮a2n⋯⋯⋯an1an2⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣
这意味着行列式中行和列的地位是对称的。因此行列式有关行的性质，对于列也成立。
⭐ 接下来行的性质，对于列也成立！
行列式中某一行的公因子可以提出行列式。即
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
⋮
⋮
⋮
k
a
i
1
k
a
i
2
⋯
k
a
i
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
=
k
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
⋮
⋮
⋮
a
i
1
a
i
2
⋯
a
i
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ ka_{i1}&ka_{i2} &\cdots &ka_{in} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1}&a_{n2} &\cdots&a_{nn} \\ \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{i1}&a_{i2} &\cdots &a_{in} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1}&a_{n2} &\cdots&a_{nn} \\ \end{vmatrix}
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮kai1⋮an1a12⋮kai2⋮an2⋯⋯⋯a1n⋮kain⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=k∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮ai1⋮an1a12⋮ai2⋮an2⋯⋯⋯a1n⋮ain⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
写出定义式，将累加项里的因子k提出来即可证明。
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
⋮
⋮
⋮
b
1
+
c
1
b
2
+
c
2
⋯
b
n
+
c
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
=
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
⋮
⋮
⋮
b
1
b
2
⋯
b
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
+
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
⋮
⋮
⋮
c
1
c
2
⋯
c
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ b_1+c_1&b_2+c_2 &\cdots &b_n+c_n \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1}&a_{n2} &\cdots&a_{nn} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ b_1 & b_2 &\cdots & b_n\\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1}&a_{n2} &\cdots&a_{nn} \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ c_1 & c_2 &\cdots & c_n\\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1}&a_{n2} &\cdots&a_{nn} \\ \end{vmatrix}
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮b1+c1⋮an1a12⋮b2+c2⋮an2⋯⋯⋯a1n⋮bn+cn⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮b1⋮an1a12⋮b2⋮an2⋯⋯⋯a1n⋮bn⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮c1⋮an1a12⋮c2⋮an2⋯⋯⋯a1n⋮cn⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
由行列式定义和乘法分配律得到。
两行互换，行列式反号。即
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
⋮
⋮
⋮
a
i
1
a
i
2
⋯
a
i
n
⋮
⋮
⋮
a
k
1
a
k
2
⋯
a
k
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
=
−
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
⋮
⋮
⋮
a
k
1
a
k
2
⋯
a
k
n
⋮
⋮
⋮
a
i
1
a
i
2
⋯
a
i
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{i1}&a_{i2} &\cdots &a_{in} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{k1}&a_{k2} &\cdots &a_{kn} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1}&a_{n2} &\cdots&a_{nn} \\ \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{k1}&a_{k2} &\cdots &a_{kn} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{i1}&a_{i2} &\cdots &a_{in} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1}&a_{n2} &\cdots&a_{nn} \\ \end{vmatrix}
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮ai1⋮ak1⋮an1a12⋮ai2⋮ak2⋮an2⋯⋯⋯⋯a1n⋮ain⋮akn⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=−∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮ak1⋮ai1⋮an1a12⋮ak2⋮ai2⋮an2⋯⋯⋯⋯a1n⋮akn⋮ain⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
左边是 Σ(-1)^τ(j1...ji...jk...jn) * ...
右边是 Σ(-1)^τ(j1...jk...ji...jn) * ...
而排列中，两个数对换则逆序数的奇偶性改变。由此可推。
两行相同，行列式的值为0。即
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
⋮
⋮
⋮
a
i
1
a
i
2
⋯
a
i
n
⋮
⋮
⋮
a
i
1
a
i
2
⋯
a
i
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
=
0
\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{i1}&a_{i2} &\cdots &a_{in} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{i1}&a_{i2} &\cdots &a_{in} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1}&a_{n2} &\cdots&a_{nn} \\ \end{vmatrix} = 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮ai1⋮ai1⋮an1a12⋮ai2⋮ai2⋮an2⋯⋯⋯⋯a1n⋮ain⋮ain⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=0
运用性质4，将相同的两行换一下得到 det = - det，因此det = 0.
两行成比例， 行列式的值为0。即
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
⋮
⋮
⋮
a
i
1
a
i
2
⋯
a
i
n
⋮
⋮
⋮
k
a
i
1
k
a
i
2
⋯
k
a
i
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
=
0
\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{i1}&a_{i2} &\cdots &a_{in} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ ka_{i1}&ka_{i2} &\cdots &ka_{in} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1}&a_{n2} &\cdots&a_{nn} \\ \end{vmatrix} = 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮ai1⋮kai1⋮an1a12⋮ai2⋮kai2⋮an2⋯⋯⋯⋯a1n⋮ain⋮kain⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=0
由性质2和性质5得到。
把一行的倍数加到另一行上，行列式的值不变。即
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
⋮
⋮
⋮
a
i
1
a
i
2
⋯
a
i
n
⋮
⋮
⋮
a
k
1
+
l
a
i
1
a
k
2
+
l
a
i
2
⋯
a
k
n
+
l
a
i
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
=
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
⋮
⋮
⋮
a
i
1
a
i
2
⋯
a
i
n
⋮
⋮
⋮
a
k
1
a
k
2
⋯
a
k
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{i1}&a_{i2} &\cdots &a_{in} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{k1}+la_{i1} &a_{k2}+la_{i2} &\cdots &a_{kn}+la_{in} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1}&a_{n2} &\cdots&a_{nn} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{i1}&a_{i2} &\cdots &a_{in} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{k1}&a_{k2} &\cdots &a_{kn} \\ \vdots&\vdots & &\vdots \\ a_{n1}&a_{n2} &\cdots&a_{nn} \\ \end{vmatrix}
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮ai1⋮ak1+lai1⋮an1a12⋮ai2⋮ak2+lai2⋮an2⋯⋯⋯⋯a1n⋮ain⋮akn+lain⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮ai1⋮ak1⋮an1a12⋮ai2⋮ak2⋮an2⋯⋯⋯⋯a1n⋮ain⋮akn⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
先利用性质3，再利用性质6即可推出。
这意味着计算行列式时可以用“消元法”，将行列式变成上三角行列式。