一个神经元即一个感知机模型，由多个神经元相互连接形成的网络，即神经网络。
这里我们只讨论单隐层前馈神经网络，其连接形式入下：
神经网络模型的待估参数即，每个神经元的阈值，以及神经元之间的连接权重。
对于该模型有如下定义：
训练集：D={(x1, y1), (x2, y2), …, (xm, ym)}，x具有d个属性值，y具有k个可能取值
则我们的神经网络（单隐层前馈神经网络）应该是具有d个输入神经元，q个隐层神经元，k个输出层神经元的神经网络 ，我们默认输入层只是数据的输入，不对数据做处理，即输入层没有阈值。
阈值函数使用对数几率函数:
有如下定义：
输出层第j个神经元的阈值为：θj
隐层第h个神经元的阈值为：γh（γ是Gamma）
输入层第i个神经元与隐层第h个神经元的连接权重为：vih
隐层第h个神经元与输出层第j个神经元的连接权重为：ωhj
由上述定义我们可以得到：
隐层第h个神经元接收到输入：
隐层第h个神经元的输出：
输出层第j个神经元接收到的输入：
现在我们定义好了所有的参数，接下来我们要求这些模型。
对参数进行估计，需要有优化方向，我们继续使用欧式距离，或者均方误差来作为优化目标：
我们使用梯度下降的策略对参数进行迭代优化，所以任意一个参数的变化大小为（θ代表任意参数）：
下面根据这个更新公式，我们来求各个参数的更新公式：
对数几率函数的导数如下：
输出层第j个神经元的阈值θj：
隐层第h个神经元的阈值γh：
输入层第i个神经元与隐层第h个神经元的连接权重vih ：
隐层第h个神经元与输出层第j个神经元的连接权重ωhj：
现在四个参数的更新规则都计算出来了，我们可以开始编码实现了。
现在有一个问题：在二分类任务中，输出层神经元有几个？
一个：如果只有1个，那么输出0表示反例，1表示正例
二个：那么输出（1,0）表示反例，（0,1）表示正例
一下实例我们使用第一种：
我们使用一个二分类数据集：马疝病数据集
horseColicTest.txt，提取码：xq88。
horseColicTraining.txt，提取码：6nmh。
数据读取：
def loaddataset(filename):
fp = open(filename)
#存放数据
dataset = []
#存放标签
labelset = []
for i in fp.readlines():
a = i.strip().split()
#每个数据行的最后一个是标签
dataset.append([float(j) for j in a[:len(a)-1]])
labelset.append(int(float(a[-1])))
return dataset, labelset
初始化各个参数：
#x为输入层神经元个数，y为隐层神经元个数，z输出层神经元个数
def parameter_initialization(x, y, z):
#隐层阈值
value1 = np.random.randint(-5, 5, (1, y)).astype(np.float64)
#输出层阈值
value2 = np.random.randint(-5, 5, (1, z)).astype(np.float64)
#输入层与隐层的连接权重
weight1 = np.random.randint(-5, 5, (x, y)).astype(np.float64)
#隐层与输出层的连接权重
weight2 = np.random.randint(-5, 5, (y, z)).astype(np.float64)
return weight1, weight2, value1, value2
初始化的各参数数值不能一样，否则无法进行学习。
对数几率函数（sigmoid函数）：
def sigmoid(z):
return 1 / (1 + np.exp(-z))
训练过程（参数调整过程）：
'''
weight1:输入层与隐层的连接权重
weight2:隐层与输出层的连接权重
value1:隐层阈值
value2:输出层阈值
'''
def trainning(dataset, labelset, weight1, weight2, value1, value2):
#x为步长
x = 0.01
for i in range(len(dataset)):
#输入数据
inputset = np.mat(dataset[i]).astype(np.float64)
#数据标签
outputset = np.mat(labelset[i]).astype(np.float64)
#隐层输入
input1 = np.dot(inputset, weight1).astype(np.float64)
#隐层输出
output2 = sigmoid(input1 - value1).astype(np.float64)
#输出层输入
input2 = np.dot(output2, weight2).astype(np.float64)
#输出层输出
output3 = sigmoid(input2 - value2).astype(np.float64)
#更新公式由矩阵运算表示
a = np.multiply(output3, 1 - output3)
g = np.multiply(a, outputset - output3)
b = np.dot(g, np.transpose(weight2))
c = np.multiply(output2, 1 - output2)
e = np.multiply(b, c)
value1_change = -x * e
value2_change = -x * g
weight1_change = x * np.dot(np.transpose(inputset), e)
weight2_change = x * np.dot(np.transpose(output2), g)
#更新参数
value1 += value1_change
value2 += value2_change
weight1 += weight1_change
weight2 += weight2_change
return weight1, weight2, value1, value2
测试：
def testing(dataset, labelset, weight1, weight2, value1, value2):
#记录预测正确的个数
rightcount = 0
for i in range(len(dataset)):
#计算每一个样例通过该神经网路后的预测值
inputset = np.mat(dataset[i]).astype(np.float64)
outputset = np.mat(labelset[i]).astype(np.float64)
output2 = sigmoid(np.dot(inputset, weight1) - value1)
output3 = sigmoid(np.dot(output2, weight2) - value2)
#确定其预测标签
if output3 > 0.5:
flag = 1
else:
flag = 0
if labelset[i] == flag:
rightcount += 1
#输出预测结果
print("预测为%d 实际为%d"%(flag, labelset[i]))
#返回正确率
return rightcount / len(dataset)
主函数：
if __name__ == '__main__':
dataset, labelset = loaddataset('基于神经网络的马疝病死亡预测/horseColicTraining.txt')
weight1, weight2, value1, value2 = parameter_initialization(len(dataset[0]), len(dataset[0]), 1)
for i in range(1500):
weight1, weight2, value1, value2 = trainning(dataset, labelset, weight1, weight2, value1, value2)
rate = testing(dataset, labelset, weight1, weight2, value1, value2)
print("正确率为%f"%(rate))
结果：
正确率为0.769231
[Finished in 68.2s]
上述实例只是一个测试我们模型是否推导正确的实例，在数据集上的学习效果并不好，有许多的细节没有考虑。
完整代码如下：
import numpy as np
def loaddataset(filename):
fp = open(filename)
#存放数据
dataset = []
#存放标签
labelset = []
for i in fp.readlines():
a = i.strip().split()
#每个数据行的最后一个是标签
dataset.append([float(j) for j in a[:len(a)-1]])
labelset.append(int(float(a[-1])))
return dataset, labelset
#x为输入层神经元个数，y为隐层神经元个数，z输出层神经元个数
def parameter_initialization(x, y, z):
#隐层阈值
value1 = np.random.randint(-5, 5, (1, y)).astype(np.float64)
#输出层阈值
value2 = np.random.randint(-5, 5, (1, z)).astype(np.float64)
#输入层与隐层的连接权重
weight1 = np.random.randint(-5, 5, (x, y)).astype(np.float64)
#隐层与输出层的连接权重
weight2 = np.random.randint(-5, 5, (y, z)).astype(np.float64)
return weight1, weight2, value1, value2
def sigmoid(z):
return 1 / (1 + np.exp(-z))
'''
weight1:输入层与隐层的连接权重
weight2:隐层与输出层的连接权重
value1:隐层阈值
value2:输出层阈值
'''
def trainning(dataset, labelset, weight1, weight2, value1, value2):
#x为步长
x = 0.01
for i in range(len(dataset)):
#输入数据
inputset = np.mat(dataset[i]).astype(np.float64)
#数据标签
outputset = np.mat(labelset[i]).astype(np.float64)
#隐层输入
input1 = np.dot(inputset, weight1).astype(np.float64)
#隐层输出
output2 = sigmoid(input1 - value1).astype(np.float64)
#输出层输入
input2 = np.dot(output2, weight2).astype(np.float64)
#输出层输出
output3 = sigmoid(input2 - value2).astype(np.float64)
#更新公式由矩阵运算表示
a = np.multiply(output3, 1 - output3)
g = np.multiply(a, outputset - output3)
b = np.dot(g, np.transpose(weight2))
c = np.multiply(output2, 1 - output2)
e = np.multiply(b, c)
value1_change = -x * e
value2_change = -x * g
weight1_change = x * np.dot(np.transpose(inputset), e)
weight2_change = x * np.dot(np.transpose(output2), g)
#更新参数
value1 += value1_change
value2 += value2_change
weight1 += weight1_change
weight2 += weight2_change
return weight1, weight2, value1, value2
def testing(dataset, labelset, weight1, weight2, value1, value2):
#记录预测正确的个数
rightcount = 0
for i in range(len(dataset)):
#计算每一个样例通过该神经网路后的预测值
inputset = np.mat(dataset[i]).astype(np.float64)
outputset = np.mat(labelset[i]).astype(np.float64)
output2 = sigmoid(np.dot(inputset, weight1) - value1)
output3 = sigmoid(np.dot(output2, weight2) - value2)
#确定其预测标签
if output3 > 0.5:
flag = 1
else:
flag = 0
if labelset[i] == flag:
rightcount += 1
#输出预测结果
print("预测为%d 实际为%d"%(flag, labelset[i]))
#返回正确率
return rightcount / len(dataset)
if __name__ == '__main__':
dataset, labelset = loaddataset('基于神经网络的马疝病死亡预测/horseColicTraining.txt')
weight1, weight2, value1, value2 = parameter_initialization(len(dataset[0]), len(dataset[0]), 1)
for i in range(1500):
weight1, weight2, value1, value2 = trainning(dataset, labelset, weight1, weight2, value1, value2)
rate = testing(dataset, labelset, weight1, weight2, value1, value2)
print("正确率为%f"%(rate))