线性动归1---数字三角形及动归模型

学习目标：

1、了解动归
2、能用动归解决的条件
3、使用动归解题的一般步骤

学习内容：

一、数字三角形1.0
【题目描述】
观察下面的数字金字塔。写一个程序查找从最高点到底部任意处结束的路径，使路径经过数字的和最大。每一步可以从当前点走到左下方的点也可以到达右下方的点。

在上面的样例中,从13到8到26到15到24的路径产生了最大的和86。

【输入格式】

第一个行包含R(1≤ R≤1000)，表示行的数目。

后面每行为这个数字金字塔特定行包含的整数。

所有的被供应的整数是非负的且不大于100。

【输出格式】

单独的一行，包含那个可能得到的最大的和。

样例数据

input

5

13

11 8

12 7 26

6 14 15 8

12 7 13 24 11

output

86

数据规模与约定

时间限制：1exts1exts

空间限制：256extMB

先思考再学习：

【题解】

• a[i][j]表示第i行第j列上的数值
• 从上往下走
• f[i][j]表示从第一行数到第i行第j列上数的最大路径之和
• (i, j)位置只能从(i-1, j)或(i-1, j-1)位置到达
• 故f[i ][j]= a[i][j]+maxn(f[i-1][j],f[i-1][j-1])

• ans = max{ f[n][i] | 1<=i<=n}
• 从下往上走
• f[i][j]表示第i行第j列上数到达底端的最大路径之和
• (i, j)位置只能去往(i+1, j)或(i+1, j+1)位置
• 故f[i ][j]= a[i][j]+max(f[i+1][j],f[i+1][j+1])

ans=f[1][1]

【代码】

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int a[100][100],i,j,n;
int main()
{
	cin>>n;
	for(i=1; i<=n; i++)
    	for(j=1; j<=i; j++)
	cin>>a[i][j];
	for(i=n-1; i>=1;i--)
	  for(j=1; j<=i; j++)
	a[i][j]=a[i][j]+max(a[i+1][j],a[i+1][j+1]);
	cout<<"max="<<a[1][1];
}

使用动归解题的条件：

1. 问题具有最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的 子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结 构性质。

   1. 无后效性。当前的若干个状态值一旦确定，则此后过程的演变就只和这若干个状态的值有关，和之前是采取哪种手段或经过哪条路径演变到当前的这若干个状态，没有关系。

使用动归解题的一般步骤

一、确定状态
这是重中之重。一般而言状态的设定都是与所求有很大的相关性的，所以，可以从此处入手。
二、确定状态的边界条件
三、确定状态转移方程

简单动归题目

体会一下上面的分析问题方法。
1、上台阶
2、上台阶2
3、前缀最大值
4、踩方格