视锥体
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如图,近截面与远截面之间构成的这个四棱台就是视锥体,而透视投影矩阵的任务就是把位于视锥体内的物体的顶点X,Y,Z坐标映射到[-1,1]范围。这就相当于把这个四棱台扭曲变形成一个立方体。这个立方体叫做规则观察体 (Canonical View Volume, CVV)。如下图:
![](https://images2015.cnblogs.com/blog/746883/201603/746883-20160314160712131-2096474612.png)
变换方法或规则:
如下图,有一点P,位于视锥体内,设坐标为(x,y,z).分别对x,y坐标和z坐标的变换到[-1,1]的方式进行讨论:
1.x,y坐标的变换方式:
(1)连接视点eye与P点与近裁剪面交于P’点
(2)设近裁剪面的宽度为W,高度为H,P’点的x坐标范围是[-W/2,W/2],y坐标范围是[-H/2,H/2],然后分别线性映射至[-1,1]内即可。
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2.z坐标的变换方式
z坐标的范围是N至F,需要映射到[-1,1],映射方法暂时按下,不做想法。
透视投影函数形式
void Matrix4X4::initPersProjMatrix(float FOV, const float aspect, float zNear, float zFar)
透视投影矩阵构建函数的参数:
Fov:纵向的视角大小
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aspect:裁剪面的宽高比
zNear:近裁剪面离摄像机的距离,图中的n
zFar:远裁剪面离摄像机的距离,图中的f
通过这几个参数和三角函数的数学知识可以求得近裁剪面的高度,参考上图:
![](https://images2015.cnblogs.com/blog/746883/201603/746883-20160314160820115-828366027.png)
求得点P在近裁剪面的投影点P’的坐标
根据相似三角形对应边长度的比率相同,由图可得
![](https://images2015.cnblogs.com/blog/746883/201603/746883-20160314160858506-25921555.png)
其中
![](https://images2015.cnblogs.com/blog/746883/201603/746883-20160314160903740-1665534850.png)
x’,y’的范围沿原点对称,只要将他们分别除以W/2,H/2,即可以使范围位于[-1,1]内。前面已求得W,H,因此:
![](https://images2015.cnblogs.com/blog/746883/201603/746883-20160314160938396-1461269117.png)
假设![](https://images2015.cnblogs.com/blog/746883/201603/746883-20160314161423678-817171780.png)
我们最后需要的坐标点P’’即是![](https://images2015.cnblogs.com/blog/746883/201603/746883-20160314160959615-504166602.png)
推导矩阵
然后为了自动化的得到这个结果,我们使用矩阵这种数学工具,将一个矩阵乘以一个向量,得到一个新的向量,使得我们所有的运算步骤和运算数据蕴藏在矩阵和乘法中。下面的工作就是寻找到一个矩阵使得:
![](https://images2015.cnblogs.com/blog/746883/201603/746883-20160314161035943-1243459902.png)
我们发现求解![](https://images2015.cnblogs.com/blog/746883/201603/746883-20160314161043006-1134370227.png)
很难找出合适的m00、m02,因为左边x和z是以加法的形式相邻,右边z确成为了x的分母。
解决方法:将右边的以四维列向量表示的坐标每一项乘以z,所以有:
![](https://images2015.cnblogs.com/blog/746883/201603/746883-20160314161111678-2010209106.png)
所以可以求得矩阵为
![](https://images2015.cnblogs.com/blog/746883/201603/746883-20160314161119256-1856631311.png)
![](https://images2015.cnblogs.com/blog/746883/201603/746883-20160314161216131-1762981170.png)
最后求得投影矩阵为
![](https://images2015.cnblogs.com/blog/746883/201603/746883-20160314161225224-241920813.png)
将这样的矩阵乘以视锥体内的一个顶点坐标,得到一个新的向量,再将这个向量的每个分量除以第四个分量(z),这样就可以得到顶点映射到规则立方观察体后的新的坐标。
注意:z坐标的映射方式的获得,最后我们是为了方便矩阵乘法的操作反向求得了z坐标与cvv中的z坐标的映射方式:
![](https://images2015.cnblogs.com/blog/746883/201603/746883-20160314161642412-724150545.png)
可见两者的映射并不是线性的,当z越大时,z的变化对z’’的扰动越小
代码示例:
![复制代码](https://common.cnblogs.com/images/copycode.gif)
1 void Matrix4X4::initPersProjMatrix(float FOV, const float aspect, float zNear, float zFar) {
2 const float zRange = zNear - zFar;
3 const float tanHalfFOV = tanf(ToRadian(FOV / 2.0f));
4
5 elements[0][0] = 1.0f / (tanHalfFOV * aspect); elements[0][1] = 0.0f; elements[0][2] = 0.0f; elements[0][3] = 0.0;
6 elements[1][0] = 0.0f; elements[1][1] = 1.0f / tanHalfFOV; elements[1][2] = 0.0f; elements[1][3] = 0.0;
7 elements[2][0] = 0.0f; elements[2][1] = 0.0f; elements[2][2] = (-zNear - zFar) / zRange; elements[2][3] = 2.0f * zFar*zNear / zRange;
8 elements[3][0] = 0.0f; elements[3][1] = 0.0f; elements[3][2] = 1.0f; elements[3][3] = 0.0;
9 }