L1，L2以及Smooth L1是深度学习中常见的3种损失函数，这3个损失函数有各自的优缺点和适用场景。
首先给出各个损失函数的数学定义，假设 x x x 为预测值与Ground Truth之间的差值：
L1 loss表示预测值和真实值之差的绝对值；也被称为最小绝对值偏差（LAD），绝对值损失函数（LAE）。总的说来，它是把目标值
y
i
y_i
yi 与估计值
f
(
x
i
)
f(x_i)
f(xi) 的绝对差值的总和最小化。
L2 loss表示与测值和真实值之差的平方；L2范数损失函数，也被称为最小平方误差（LSE）。它是把目标值
y
i
y_i
yi 与估计值
f
(
x
i
)
f(x_i)
f(xi) 的差值的平方和最小化。一般回归问题会使用此损失，离群点对次损失影响较大。
SmoothL1与L1类似，但在预测值与真实值差异非常小时，调整为 0.5 x 2 0.5x^2 0.5x2
但是，L1和L2有各自的缺点不足，而SmoothL1综合了二者的优点：
从3个损失函数各自的导数也能看出其特征：
在机器学习中，我们非常关心模型的预测能力，即模型在新数据上的表现，而不希望过拟合现象的的发生，我们通常使用正则化（regularization）技术来防止过拟合情况。正则化是机器学习中通过显式的控制模型复杂度来避免模型过拟合、确保泛化能力的一种有效方式。如果将模型原始的假设空间比作“天空”，那么天空飞翔的“鸟”就是模型可能收敛到的一个个最优解。在施加了模型正则化后，就好比将原假设空间（“天空”）缩小到一定的空间范围（“笼子”），这样一来，可能得到的最优解能搜索的假设空间也变得相对有限。有限空间自然对应复杂度不太高的模型，也自然对应了有限的模型表达能力。这就是“正则化有效防止模型过拟合的”一种直观解析。
在深度学习中，用的比较多的正则化技术是L2正则化，其形式是在原先的损失函数后边再加多一项： 1 / 2 λ θ i 2 1/2λθ^2_i 1/2λθi2 ，那加上L2正则项的损失函数就可以表示为： L ( θ ) = L ( θ ) + λ ∑ i n θ i 2 L(θ)=L(θ)+λ∑^n_i θ^2_i L(θ)=L(θ)+λ∑inθi2，其中θ就是网络层的待学习的参数，λ则控制正则项的大小，较大的取值将较大程度约束模型复杂度，反之亦然。
L2约束通常对稀疏的有尖峰的权重向量施加大的惩罚，而偏好于均匀的参数。这样的效果是鼓励神经单元利用上层的所有输入，而不是部分输入。所以L2正则项加入之后，权重的绝对值大小就会整体倾向于减少，尤其不会出现特别大的值（比如噪声），即网络偏向于学习比较小的权重。所以L2正则化在深度学习中还有个名字叫做“权重衰减”（weight decay），也有一种理解这种衰减是对权值的一种惩罚，所以有些书里把L2正则化的这一项叫做惩罚项（penalty）。
我们通过一个例子形象理解一下L2正则化的作用，考虑一个只有两个参数
w
1
w_1
w1和
w
2
w_2
w2的模型，其损失函数曲面如下图所示。从a可以看出，最小值所在是一条线，整个曲面看起来就像是一个山脊。那么这样的山脊曲面就会对应无数个参数组合，单纯使用梯度下降法难以得到确定解。但是这样的目标函数若加上一项
0.1
×
(
w
1
2
+
w
2
2
)
0.1×(w^2_1+w^2_2)
0.1×(w12+w22)，则曲面就会变成b图的曲面，最小值所在的位置就会从一条山岭变成一个山谷了,此时我们搜索该目标函数的最小值就比先前容易了，所以L2正则化在机器学习中也叫做“岭回归”（ridge regression）。
