2、预备知识

2.1、数据操作

batch：以图片数据为例，一次读入的图片数量。

小批量样本可以充分利用GPU进行并行计算提高计算效率。

• 数据访问

  数组：np.array To pd.Series To torch.tensor

• 二维张量的写法

  a = torch.ones(4,9)
  a = torch.ones((4,9))#李沐老师
  
  a = torch.arange(36).reshape(4,9)
  a = torch.arange(36).reshape((4,9))#李沐老师
  

  多加一个括号，结果都是一致的，都是表示二维张量，张量形状都是（4，9），所以二维有两种写法，但再加一层括号，形状就变成了(1,4,9)三维，判断维数技巧：最外面的括号去掉开始数，比如：

  a = torch.ones((((((4,9)))))) 
  

  这个形状是(1,1,1,1,1,4,9)

• 将多个张量沿指定的维度进行连接

  torch.cat(inputs, dim=0, out=None)
  

  • inputs：一个或多个输入张量（可以是相同形状的多个张量）。
  • dim：指定的连接维度，默认为0。
  • out：输出的张量，默认为None

• 不同形状向量相加广播机制（broadcasting mechanism）【必须同纬度】

  a = torch.arange(3).reshape(3,1)
  b = torch.arange(2).reshape(1,2)
  a + b
  

  ( 0 1 2 ) − > ( 0 0 1 1 2 2 ) \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2\\ \end{pmatrix} ->\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1\\ 2 & 2\\ \end{pmatrix} ​012​ ​−> ​012​012​ ​

  ( 0 1 ) − > ( 0 1 0 1 0 1 ) \begin{pmatrix} 0 &1 \end{pmatrix} ->\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1\\ 0 & 1\\ \end{pmatrix} (0​1​)−> ​000​111​ ​

  ( 0 0 1 1 2 2 ) + ( 0 1 0 1 0 1 ) = ( 0 1 1 2 2 3 ) \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1\\ 2 & 2\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1\\ 0 & 1\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2\\ 2 & 3\\ \end{pmatrix} ​012​012​ ​+ ​000​111​ ​= ​012​123​ ​

  向量|张量相加得到了意外的结果，可以考虑是不是误将不同形状的向量相加了，触发了广播机制。

• 使用sum求和（沿某个轴方向 axis ）

  axis = ？意味着把那一维压缩
  
  
  
  keepdims=True 表示保持求和结果的维度和原数组一致。保持维度一致通常是为了方便后续的运算或对结果的处理。

  a.sum(axis=0,keepdims=True).shape,a.sum(axis=0,keepdims=True)
  

  (torch.Size([1, 5, 4]),
  tensor([[[2., 2., 2., 2.],
  [2., 2., 2., 2.],
  [2., 2., 2., 2.],
  [2., 2., 2., 2.],
  [2., 2., 2., 2.]]]))

  这里keepdims=True和广播有很好的搭配效果。每一个元素/sum，维度同但形状不同，广播，维度同形状也同，可以执行。

• 复制，可能会导致开辟新内存

  before = id(y)
  x = x + y
  id(y) == before
  

  False

  执行原地操作的两种方式：

  x[:] = x + y 
  

  x += y
  

  注意

  b[:] = a;#类似于view b变a也一起变，这种写法实际使用时b不轻易改变
  

  避免大张量的过度复制，减少内存开销。

  z = X.clone()#Z得到一个X的副本
  

• numpy 转 torch ,反之不可行

  a  = x.numpy()
  b = torch.tensor(a)
  type(a),type(b)
  

  (numpy.ndarray, torch.Tensor)

  在jupyter 中一次性输出多个内容使用逗号间隔实现

• 将大小为1的张量转换为 Python标量

  使用 item()，或者强制类型转换实现

  a = torch.tensor([3.5])
  a,a.item(),float(a),int(a)
  

  (tensor([3.5000]), 3.5, 3.5, 3)

• pandas读入，再缺失值处理，转为torch张量的过程

  import pandas as pd
  data = pd.read_csv(data_file)
  

  缺失值处理：插值法 or 删除

  inputs, outputs = data.iloc[:,0:2],data.iloc[:,2]
  inputs = inputs.fillna(inputs.mean())
  inputs = pd.get_dummies(inputs, dummy_na =True)
  

  pd.get_dummies()函数将输入的数据集inputs中的每个分类变量【不是数值的，比如字符串值】都拆分为多个二进制变量，每个变量表示一种可能的分类。dummy_na=True参数表示要在创建虚拟变量时包含对缺失值的处理【把NaN也视为一类情况】。

  import torch 
  X,y = torch.tensor(inputs.values),torch.tensor(outputs.values)
  X,y
  

2.2、线性代数&矩阵计算

• 乘法（矩阵乘向量）

  c = A b     w h e r e     c i = ∑ i A i j b j c = Ab \ \ \ where \ \ \ c_i = \sum_i A_{ij}b_j c=Ab   where   ci​=i∑​Aij​bj​

• 乘法（矩阵乘矩阵）

  C = A B     w h e r e     C i k = ∑ j A i j B j k C = AB\ \ \ where\ \ \ C_{ik} = \sum_j A_{ij}B_{jk} C=AB   where   Cik​=j∑​Aij​Bjk​

• 求范数

  向量的模推广到矩阵，范数就是‘矩阵的模’。

  ∣ ∣ a ∣ ∣ 2 = [ ∑ i = 1 m a i 2 ] 1 2 ||a||_2 =[\sum_{i=1}^ma_i^2]^{\frac{1}{2}} ∣∣a∣∣2​=[i=1∑m​ai2​]21​

  下面是计算张量的2范数|F范数【Frobenius范数】：

  torch.norm(torch.ones((4,9)))
  

  ∣ ∣ A ∣ ∣ F r o b = [ ∑ i j A i j 2 ] 1 2 ||A||_{Frob} =[\sum_{ij}A_{ij}^2]^{\frac{1}{2}} ∣∣A∣∣Frob​=[ij∑​Aij2​]21​

2.3、导数

用的少，pytorch 实现了自动微分计算自动求导。

• 压导数

  将导数拓展到不可微的函数。

  

• 计算图

  张量的计算通常会生成计算图。当你执行张量操作时，例如加法、乘法、矩阵乘法、激活函数等，这些操作会被记录到计算图中。计算图是一个有向无环图（DAG），其中节点表示张量操作，边表示操作之间的依赖关系。

  自动求导的两种模式

  链式法则： ∂ y ∂ x = ∂ y ∂ u n ∂ u n ∂ u n − 1 . . . ∂ u 2 ∂ u 1 ∂ u 1 ∂ x \frac{∂y}{∂x}=\frac{∂y}{∂u_n}\frac{∂u_n}{∂u_{n-1}}...\frac{∂u_2}{∂u_1}\frac{∂u_1}{∂x} ∂x∂y​=∂un​∂y​∂un−1​∂un​​...∂u1​∂u2​​∂x∂u1​​

  • 正向积累 ∂ y ∂ x = ∂ y ∂ u n ( ∂ u n ∂ u n − 1 ( . . . ( ∂ u 2 ∂ u 1 ∂ u 1 ∂ x ) ) ) \frac{∂y}{∂x}=\frac{∂y}{∂u_n}(\frac{∂u_n}{∂u_{n-1}}(...(\frac{∂u_2}{∂u_1}\frac{∂u_1}{∂x}))) ∂x∂y​=∂un​∂y​(∂un−1​∂un​​(...(∂u1​∂u2​​∂x∂u1​​)))

  • 反向积累、又称反向传递 ∂ y ∂ x = ( ( ( ∂ y ∂ u n ∂ u n ∂ u n − 1 ) . . . ) ∂ u 2 ∂ u 1 ) ∂ u 1 ∂ x \frac{∂y}{∂x}=(((\frac{∂y}{∂u_n}\frac{∂u_n}{∂u_{n-1}})...)\frac{∂u_2}{∂u_1})\frac{∂u_1}{∂x} ∂x∂y​=(((∂un​∂y​∂un−1​∂un​​)...)∂u1​∂u2​​)∂x∂u1​​

    反向传播逻辑与高数手写复合函数求导完全一致。
    
    

  求导和反向传播：计算图可以帮助自动计算函数的导数，特别是在深度学习中的反向传播算法中。通过在计算图中计算每个节点的梯度，可以从输出端反向传播梯度到输入端，以便优化模型的参数。

  x.requires_grad_(True)#使用requires_grad=True参数来指定需要对其求导,计算时会存储梯度
  x.grad#访问梯度，目前未计算是空的
  
  y = 2 * torch.dot(x,x )#内积
  y
  

  tensor(28., grad_fn=<MulBackward0>)

  y.backward()#求导
  x.grad
  

  tensor(28., grad_fn=<MulBackward0>)

  x.grad == 4 * x#判断 导数是不是 4x
  

  tensor([True, True, True, True])

  x.grad.zero_()#默认情况pytorch会累积梯度，需要清除之前的值。
  y = x.sum()# y =x1+x2+x3+...
  y.backward()
  y,x.grad
  

  (tensor(6., grad_fn=<SumBackward0>), tensor([1., 1., 1., 1.]))

  ---

  非标量调用 backward，需要传入 gradient 参数

  【在PyTorch中，反向传播（backward）函数用于计算非标量张量的梯度。当计算标量的梯度时，PyTorch会自动计算并传播梯度，而无需明确传入梯度参数。然而，当处理非标量张量时，需要手动传入梯度参数。】

x.grad.zero_()
y  = x * x 
#等价于 y.backword(torch.ones(len(x)))
y.sum().backward()
y,x.grad

(tensor([0., 1., 4., 9.], grad_fn=<MulBackward0>), tensor([0., 2., 4., 6.]))

y.sum().backward() 是使用 PyTorch 的自动微分功能进行反向传播。它计算了 y 张量的和，并通过链式法则将梯度传播回各个输入张量。这里的输入张量是 x。

x.grad.zero_()
y =x * x 
#由于 y 是通过对 x 进行元素级乘法实现的（y = x * x），因此 y 对于每个元素 x[i] 的梯度是 2 * x[i]
u = y.detach()
#用于将张量 y 从计算图中分离出来，并且将其梯度信息置为无。这样做的目的是防止梯度回传时对 u 的梯度计算，从而实现对 u 的一种冻结。通常，当希望保留某个张量的值，但不想在反向传播过程中计算它的梯度时，就会使用 detach() 方法。通过将张量分离并赋给一个新的变量，在接下来的计算过程中使用这个新变量 u，而且它的梯度会被忽略，从而实现参数冻结或临时截断梯度流的目的。
z = u *x

z.sum().backward()
x.grad == u

tensor([True, True, True, True])

2.4、基础优化方法

• 梯度计算往往是深度学习中成本最贵的。

• 小批量随机梯度下降是深度学习默认的求解方法。

• 两个重要的超参数是 批量大小和学习率。