DSA数字签名算法及其实现

2023-11-04

一、实验目的

在掌握了ElGamal和Schorr数字签名算法的基础上，进一步地学习和掌握DSA签名算法。深入地理解该算法是如何降低了签名信息的长度（当其中一个重要参数选为512bit的素数时，ElGamal签名的长度为1024bit，而DSA中通过160bit的素数可以将签名的长度降低为320bit），从而减少了存储空间和传输带宽。

二、实验要求

4．学习DSA数字签名算法。
5．掌握如何使用Java BigInteger类，简单实现最基础的DSA公私钥签名算法。
6．深入地理解DSA签名算法与RSA算法的区别。

三、开发环境

JDK 1.8，Java开发环境
四、实验内容

【1-1】DSA签名算法的实现

实现系统参数的设置：根据书本上的知识， DSA公私钥生成算法首先选择一个160bit 的素数，接着选择一个长度在512~1024bit的素数，使得能被整除（），最后选择，其中是整数，满足，且。从中随机地选择一个整数作为私钥，计算，用户的公钥为。具体的代码如下：

public void initKeys(){
    	q = new BigInteger(160, 100, new SecureRandom());
    	do {
    		BigInteger t = new BigInteger(512, new SecureRandom());
    		p = t.multiply(q).add(BigInteger.ONE);
    		System.out.println("~");
    	}while(!p.isProbablePrime(100));
    	BigInteger h = _randomInZq();
    	g = h.modPow(p.subtract(BigInteger.ONE).divide(q), p);
    	x = _randomInZq();
    	y = g.modPow(x, p);
    	System.out.println("p : " + p);
    	System.out.println("q : " + q);
    	System.out.println("g : " + g);
    	System.out.println("x : " + x);
    	System.out.println("y : " + y);
}

其中，需要在前面定义、、、、、和设置一个随机函数。代码分别如下：

public class DSASign {
           public BigInteger p,q,g;
           public BigInteger x,y;
           public BigInteger _randomInZq(){
        	  BigInteger r= null;
      	do {
    		    System.out.print(".");
    		    r = new BigInteger(160, new SecureRandom());
         	}while(r.compareTo(q) >=0);
       	 System.out.print(".");
    	     return r;
    }

实现签名算法：DSA签名算法是对待签名的消息进行签名，其计算如下两个分量：

因此，可根据公式，写代码如下：

	  public BigInteger[] signature(byte m[]){
        	BigInteger k = _randomInZq();
      	BigInteger sig[] = new BigInteger[2];
     	sig[0] = g.modPow(k, p).mod(q);
     	sig[1] = _hashInZq(m).add(x.multiply(sig[0])).mod(q)
     	.multiply(k.modInverse(q)).mod(q);
     	return sig;
}

其中选择的DSA签名算法中规定了Hash函数为SHA-1算法：

public BigInteger __hash(byte m[]) {
		MessageDigest md;
		try {
			md = MessageDigest.getInstance("SHA-1");
			md.update(m);
		    byte b[] = new byte[17];
		    System.arraycopy(md.digest(), 0, b, 1, 16);
		    return new BigInteger(b);
		} catch (NoSuchAlgorithmException e) {
			System.out.println("this cannot happen.");
		}
	    return null;
	}

3.实现验证签名算法：当签名接收者在接收到消息和签名信息后，进行如下步骤计算：

实现该验证算法的代码如下：

public boolean verify(byte m[], BigInteger sig[]){
      	BigInteger w = sig[1].modInverse(q);
    	    BigInteger u1 = _hashInZq(m).multiply(w).mod(q);
      	BigInteger u2 = sig[0].multiply(w).mod(q);
     	BigInteger v = g.modPow(u1, p).multiply(y.modPow(u2, p)).mod(p).mod(q);
    	    System.out.println("v = " + v);
     	System.out.println("r = " + sig[0]);
     	return v.compareTo(sig[0]) == 0;
 }
4.实现main方法，在main方法中调用算法进行测试：注意，此处需要修改为你的名字和学号。
public static void main(String args[]){
      	DSASign dsa = new DSASign();
      	dsa.initKeys();
     	String message = "My name is xxx, my student number is xxxxxx.";
     	System.out.println(message);
     	BigInteger sig[] = dsa.signature(message.getBytes());
       	System.out.println("DSASignture verifies result:" + dsa.verify(message.getBytes(),sig) );
}

【1-2】完整参考代码。

import java.math.BigInteger;
import java.security.MessageDigest;
import java.security.NoSuchAlgorithmException;
import java.security.SecureRandom;
import java.util.Random;


public class DSASign {
    public BigInteger p,q,g;
    public BigInteger x,y;
    
    public BigInteger _randomInZq(){
    	BigInteger r= null;
    	do {
    		System.out.print(".");
    		r = new BigInteger(160, new SecureRandom());
    	}while(r.compareTo(q) >=0);
    	System.out.print(".");
    	return r;
    }
    
    public BigInteger _hashInZq(byte m[]){
    	MessageDigest md;
    	try {
    		md = MessageDigest.getInstance("SHA-1");
    		md.update(m);
    		byte b[] = new byte[17];
    		System.arraycopy(md.digest(), 0, b, 1, 16);
    		return new BigInteger(b);
    	}catch (NoSuchAlgorithmException e){
    		System.out.print("This cannot happen!");
    	}
    	return null;
    }
    
    public void initKeys(){
    	q = new BigInteger(160, 100, new SecureRandom());
    	do {
    		BigInteger t = new BigInteger(512, new SecureRandom());
    		p = t.multiply(q).add(BigInteger.ONE);
    		System.out.println("~");
    	}while(!p.isProbablePrime(100));
    	BigInteger h = _randomInZq();
    	g = h.modPow(p.subtract(BigInteger.ONE).divide(q), p);
    	x = _randomInZq();
    	y = g.modPow(x, p);
    	System.out.println("p : " + p);
    	System.out.println("q : " + q);
    	System.out.println("g : " + g);
    	System.out.println("x : " + x);
    	System.out.println("y : " + y);
    }
    
    public BigInteger[] signature(byte m[]){
    	BigInteger k = _randomInZq();
    	BigInteger sig[] = new BigInteger[2];
    	sig[0] = g.modPow(k, p).mod(q);
    	sig[1] = _hashInZq(m).add(x.multiply(sig[0])).mod(q)
    	.multiply(k.modInverse(q)).mod(q);
    	return sig;
    }
    public boolean verify(byte m[], BigInteger sig[]){
    	BigInteger w = sig[1].modInverse(q);
    	BigInteger u1 = _hashInZq(m).multiply(w).mod(q);
    	BigInteger u2 = sig[0].multiply(w).mod(q);
    	BigInteger v = g.modPow(u1, p).multiply(y.modPow(u2, p)).mod(p).mod(q);
    	System.out.println("v = " + v);
    	System.out.println("r = " + sig[0]);
    	return v.compareTo(sig[0]) == 0;
    }
    
    public static void main(String args[]){
    	DSASign dsa = new DSASign();
    	dsa.initKeys();
    	String message = "My name is xxx, my student number is xxxxxx.";
    	System.out.println(message);
    	BigInteger sig[] = dsa.signature(message.getBytes());
    	System.out.println("DSASignture verifies result:" + dsa.verify(message.getBytes(),sig) );
    }
    
}

【1-3】算法运行截图

运行要求：运行算法，DSA签名验证结果应该为true。
在这里插入图片描述

【1-4】注意事项：

DSA数字签名算法主要依赖于整数有限域离散对数难题，素数必须足够大，且至少包含一个大素数因子以抵抗Pohlig &Hellman算法的攻击。一般都应采用信息的HASH值。DSA加密算法的安全性主要依赖于和，若选取不当则签名容易伪造，应保证对于的大素数因子不可约。其安全性与RSA相比差不多。DSA数字签名算法，它是另一种公开密钥算法，它不能用作加密，只用作数字签名（这就是何RSA的区别）。特别要注意的是，要深入地挖掘算法所隐藏的含义，这对我们理解算法和代码实现极其重要。同时在代码的实现过程中一定要细心地到底是模还是模，这关乎着验证过程的正确性。

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