忽略了特征之间的联系
特征高维、稀疏，容易爆炸
FM就是Factor Machine，因子分解机。
FM通过对两两特征组合，引入交叉项特征，提高模型得分；其次是高维灾难，通过引入隐向量（对参数矩阵进行矩阵分解），完成对特征的参数估计。
一般的线性模型
y
=
ω
0
+
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
y = {\omega _0} + \sum\limits_{i = 1}^n {{w_i}{x_i}}
y=ω0+i=1∑nwixi
二阶多项式模型
y
=
ω
0
+
∑
i
=
1
n
w
i
x
i
+
∑
i
=
1
n
−
1
∑
j
=
i
+
1
n
ω
i
j
x
i
x
j
y = {\omega _0} + \sum\limits_{i = 1}^n {{w_i}{x_i}} + \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\sum\limits_{j = i + 1}^n {{\omega _{ij}}{x_i}{x_j}} }
y=ω0+i=1∑nwixi+i=1∑n−1j=i+1∑nωijxixj
上式中，n表示样本的特征数量，xi表示第i个特征。
与线性模型相比，FM模型多了后面特征组合的部分。
从上面的式子可以看到，组合部分的特征相关参数有
n
(
n
−
1
)
/
2
n\left( {n - 1} \right)/2
n(n−1)/2个。但是对于稀疏数据来说，同时满足
x
i
,
x
j
{x_i},{x_j}
xi,xj都不为0的情况十分少，这就会导致
ω
i
j
{{\omega _{ij}}}
ωij无法通过训练得到。
为了求出
ω
i
j
{{\omega _{ij}}}
ωij，我们对每一个特征分量xi引入辅助向量
V
i
=
(
v
i
1
,
v
i
2
,
⋯
,
v
i
k
)
{V_i} = \left( {{v_{i1}},{v_{i2}}, \cdots ,{v_{ik}}} \right)
Vi=(vi1,vi2,⋯,vik)。然后利用
v
i
v
j
T
{v_i}v_j^T
vivjT对
ω
i
j
{{\omega _{ij}}}
ωij进行求解。
那么
ω
i
j
{{\omega _{ij}}}
ωij组成的矩阵可以表示为：
求解
v
i
{v_i}
vi和
v
j
{v_j}
vj的具体过程如下：
∑
i
=
1
n
−
1
∑
j
=
i
+
1
n
⟨
ν
i
,
ν
j
⟩
x
i
x
j
=
1
2
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
⟨
ν
i
,
ν
j
⟩
x
i
x
j
−
1
2
∑
i
=
1
n
⟨
ν
i
,
ν
i
⟩
x
i
x
i
=
1
2
(
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
∑
f
=
1
k
v
i
,
f
v
j
,
f
x
i
x
j
−
∑
i
=
1
n
∑
f
=
1
k
v
i
,
f
v
j
,
f
x
i
)
=
1
2
∑
f
=
1
k
(
(
∑
i
=
1
n
v
i
,
f
x
i
)
(
∑
j
=
1
n
v
j
,
f
x
j
)
−
∑
i
=
1
n
v
i
,
f
2
x
i
2
)
=
1
2
∑
f
=
1
k
(
(
∑
i
=
1
n
v
i
,
f
x
i
)
2
−
∑
i
=
1
n
v
i
,
f
2
x
i
2
)
\begin{array}{l} \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\sum\limits_{j = i + 1}^n {\left\langle {{\nu _i},{\nu _j}} \right\rangle {x_i}{x_j}} } \\ = \frac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {\left\langle {{\nu _i},{\nu _j}} \right\rangle {x_i}{x_j}} } - \frac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^n {\left\langle {{\nu _i},{\nu _i}} \right\rangle {x_i}{x_i}} \\ = \frac{1}{2}\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {\sum\limits_{f = 1}^k {{v_{i,f}}{v_{j,f}}{x_i}{x_j}} - \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{f = 1}^k {{v_{i,f}}{v_{j,f}}{x_i}} } } } } \right)\\ = \frac{1}{2}\sum\limits_{f = 1}^k {\left( {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{v_{i,f}}{x_i}} } \right)\left( {\sum\limits_{j = 1}^n {{v_{j,f}}{x_j}} } \right) - \sum\limits_{i = 1}^n {v_{i,f}^2x_i^2} } \right)} \\ = \frac{1}{2}\sum\limits_{f = 1}^k {\left( {{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{v_{i,f}}{x_i}} } \right)}^2} - \sum\limits_{i = 1}^n {v_{i,f}^2x_i^2} } \right)} \end{array}
i=1∑n−1j=i+1∑n⟨νi,νj⟩xixj=21i=1∑nj=1∑n⟨νi,νj⟩xixj−21i=1∑n⟨νi,νi⟩xixi=21(i=1∑nj=1∑nf=1∑kvi,fvj,fxixj−i=1∑nf=1∑kvi,fvj,fxi)=21f=1∑k((i=1∑nvi,fxi)(j=1∑nvj,fxj)−i=1∑nvi,f2xi2)=21f=1∑k((i=1∑nvi,fxi)2−i=1∑nvi,f2xi2)
梯度
FM有一个重要的性质：multilinearity：若
Θ
=
(
ω
0
,
ω
1
,
ω
2
,
⋯
,
ω
n
,
v
11
,
v
12
,
⋯
,
v
n
k
)
\Theta = \left( {{\omega _0},{\omega _1},{\omega _2}, \cdots ,{\omega _n},{v_{11}},{v_{12}}, \cdots ,{v_{nk}}} \right)
Θ=(ω0,ω1,ω2,⋯,ωn,v11,v12,⋯,vnk)表示FM模型的所有参数，则对于任意的
θ
∈
Θ
\theta \in \Theta
θ∈Θ,存在与
θ
\theta
θ无关的
g
(
x
)
g\left( x \right)
g(x)与
h
(
x
)
h\left( x \right)
h(x),则二阶多项式模型可以表示为：
f
(
x
)
=
g
(
x
)
+
θ
h
(
x
)
f\left( x \right) = g\left( x \right) + \theta h\left( x \right)
f(x)=g(x)+θh(x)
从上式可以看到，如果我们得到了
g
(
x
)
g\left( x \right)
g(x)与
h
(
x
)
h\left( x \right)
h(x)，则对于参数
θ
\theta
θ的梯度为
h
(
x
)
h\left( x \right)
h(x)。
本文使用的数据集为MovieLens100k Datase，数据包括四列，分别是用户ID，电影ID，打分，时间戳。
要使用FM模型，我们首先要将数据处理成一个矩阵，矩阵的大小是用户数 * 电影数。使用的是scipy.sparse中的csr.csr_matrix实现这个矩阵。
函数形式如下csr_matrix((data, indices, indptr)
可以看到，函数接收三个参数，
第一个参数是数值（也就是图中的values）
第二个参数是每个数对应的列号（也就是图中的column indices）
第三个参数是每行的起始的偏移量（也就是图中的row offsets）
图中的例子，row offsets的前rows个元素代表每一行的第一个非零元素在values中的位置。第一行的第一个非零元素在values的位置为0，也就是1，第二行的第一个非零元素在values的位置为2，也就是2，以此类推。因此第一行有两个非零元素1,7，他们在行中的位置对应为column indices的0,1。
数据处理的代码
def vectorize_dic(dic,ix=None,p=None,n=0,g=0):
'''
:params:dic,特征列表字典，关键字是特征名
:params:ix,索引
:params:p,特征向量的维度
'''
if ix == None:
ix = dict()
nz = n * g
col_ix = np.empty(nz,dtype = int)#随机生成一个大小为nz的数组，元素为整数
i = 0
#dict.get(k,d),dict[k] if dict[k] else d
for k,lis in dic.items():
#users和users的list，或者是items和items的list
for t in range(len(lis)):
#为编号为t的user或者item赋值
ix[str(lis[t]) + str(k)] = ix.get(str(lis[t]) + str(k),0) + 1
col_ix[i + t * g] = ix[str(lis[t]) + str(k)]
i += 1
row_ix = np.repeat(np.arange(0,n),g)#np.repeat(np.arange(0,3),2):[0 0 1 1 2 2]
data = np.zeros(nz)
if p == None:
p = len(ix)
ixx = np.where(col_ix < p)
return csr.csr_matrix((data[ixx],(row_ix[ixx],col_ix[ixx])),shape=(n,p)),ix
分批次训练模型
def batcher(X_,y_=None,batch_size=-1):
n_samples = X_.shape[0]
if batch_size == -1:
batch_size = n_samples
if batch_size < 1:
raise ValueError("参数batch_size={}是不支持的".format(batch_size))
for i in range(0,n_samples,batch_size):
upper_bound = min(i + batch_size,n_samples)
ret_x = X_[i:upper_bound]
ret_y = None
if y_ is not None:
ret_y = y_[i:i + batch_size]
yield (ret_x,ret_y)
构建模型
x = tf.placeholder('float',[None,p])
y = tf.placeholder('float',[None,1])
w0 = tf.Variable(tf.zeros([1]))
w = tf.Variable(tf.zeros([p]))
v = tf.Variable(tf.random_normal([k,p],mean=0,stddev=0.01))
linear_terms = tf.add(w0,tf.reduce_sum(tf.multiply(w,x),1,keep_dims=True))
pair_interactions = 0.5 * tf.reduce_sum(tf.subtract(
tf.pow(tf.matmul(x,tf.transpose(v)),2),
tf.matmul(tf.pow(x,2),tf.transpose(tf.pow(v,2)))
),axis=1,keep_dims=True)
y_hat = tf.add(linear_terms,pair_interactions)
lambda_w = tf.constant(0.001,name='lambda_w')
lambda_v = tf.constant(0.001,name='lambda_v')
l2_norm = tf.reduce_sum(tf.add(
tf.multiply(lambda_w,tf.pow(w,2)),
tf.multiply(lambda_v,tf.pow(v,2))
))
error = tf.reduce_mean(tf.square(y - y_hat))
loss = tf.add(error,l2_norm)
train_op = tf.train.GradientDescentOptimizer(learning_rate=0.01).minimize(loss)