模糊数学学习笔记 2：贴近度

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1. 贴近度

给定 A , B , C ∈ F ( U ) A,B,C\in \mathcal{F}(U) A,B,C∈F(U)， σ ( ∗ , ∗ ) \sigma(*,*) σ(∗,∗) 满足以下几个条件时，被称为贴近度

1. σ ( A , A ) = 1 \sigma(A,A)=1 σ(A,A)=1
2. σ ( A , B ) = σ ( B , A ) \sigma(A,B)=\sigma(B,A) σ(A,B)=σ(B,A)
3. 若 A ⊂ B ⊂ C A\subset B\subset C A⊂B⊂C，则 σ ( A , B ) ≥ σ ( A , C ) , σ ( B , C ) ≥ σ ( A , C ) \sigma(A,B)\ge\sigma(A,C),\sigma(B,C)\ge\sigma(A,C) σ(A,B)≥σ(A,C),σ(B,C)≥σ(A,C)
4. σ ( U , ∅ ) = 0 \sigma(U,\varnothing)=0 σ(U,∅)=0

严格贴近度的定义为

1. σ ( A , B ) = 1    ⟺    A = B \sigma(A,B)=1 \iff A=B σ(A,B)=1⟺A=B
2. 上述 2.-4. 条

贴近度的例子：

• 严格贴近度： σ ( A , B ) = ∑ n a n ∧ b n ∑ n a n ∨ b n \sigma(A, B)=\frac{\sum_{n} a_{n} \wedge b_{n}}{\sum_n a_{n} \vee b_{n}} σ(A,B)=∑n​an​∨bn​∑n​an​∧bn​​
• σ ( A , B ) = 1 − t ( ∑ 1 n ∣ a k − b k ∣ p ) q \sigma(A, B)=1-t\left(\sum_{1}^{n}\left|a_{k}-b_{k}\right|^{p}\right)^{q} σ(A,B)=1−t(∑1n​∣ak​−bk​∣p)q
• σ ( A , B ) = ∑ n a n ∧ b n ∑ n ( a n + b n ) / 2 \sigma(A, B)=\frac{\sum_{n} a_{n} \wedge b_{n}}{\sum_n (a_{n} + b_{n})/2} σ(A,B)=∑n​(an​+bn​)/2∑n​an​∧bn​​
• σ ( A , B ) = exp ⁡ ( − t ( ∑ 1 n ∣ a k − b k ∣ p ) q ) \sigma(A, B)=\exp\left(-t\left(\sum_{1}^{n}\left|a_{k}-b_{k}\right|^{p}\right)^{q}\right) σ(A,B)=exp(−t(∑1n​∣ak​−bk​∣p)q)

2. 内外积

2.1 定义

内积： A , B ∈ F ( U ) A,B\in\mathcal{F}(U) A,B∈F(U)，称 A ∘ B = ∨ u ∈ U ( A ( u ) ∧ B ( u ) ) A\circ B=\underset{u \in U}{\vee}(A(u) \wedge B(u)) A∘B=u∈U∨​(A(u)∧B(u)) 为 A , B A,B A,B 的内积

外积： A , B ∈ F ( U ) A,B\in\mathcal{F}(U) A,B∈F(U)，称 A ∘ ^ B = ∧ u ∈ U ( A ( u ) ∨ B ( u ) ) A \hat{\circ} B=\underset{u \in U}{\wedge}(A(u) \vee B(u)) A∘^B=u∈U∧​(A(u)∨B(u)) 为 A , B A,B A,B 的外积

Remarks：内外积本身并不是用来表述两个集合的相似程度的，就像向量的内外积，还与向量自身的模长有关。

2.2 性质

• A ∘ ^ B = A c ∘ B c , ( A ∘ B ) c = A c ∘ ^ B c A \hat{\circ} B = A^c\circ B^c,(A\circ B)^c=A^c \hat{\circ} B^c A∘^B=Ac∘Bc,(A∘B)c=Ac∘^Bc
• A ∘ B ≤ a ˉ ∧ b ˉ , A ∘ ^ B ≥ a ‾ ∨ b ‾ A {\circ} B\le \bar{a}\wedge\bar{b},A \hat{\circ} B\ge\underline{a}\vee\underline{b} A∘B≤aˉ∧bˉ,A∘^B≥a​∨b​
• A ∘ A = a ˉ , A ∘ ^ A = a ‾ A\circ A=\bar{a},A \hat{\circ} A=\underline{a} A∘A=aˉ,A∘^A=a​
• ∨ B ∈ F ( U ) ( A ∘ B ) = a ˉ , ∧ B ∈ F ( U ) ( A ∘ ^ B ) = a ‾ \underset{B \in \mathcal{F}(U)}{\vee}(A \circ B)=\bar{a}, \quad \underset{B \in \mathcal{F}(U)}{\wedge}\left(A {\hat{\circ}} B\right)=\underline{a} B∈F(U)∨​(A∘B)=aˉ,B∈F(U)∧​(A∘^B)=a​
• A ⊆ B ⇒ A ∘ B = a ˉ , A ∘ ^ B = b ‾ A \subseteq B \Rightarrow A \circ B=\bar{a}, A{\hat{\circ}} B=\underline{b} A⊆B⇒A∘B=aˉ,A∘^B=b​
• A ∘ A c ≤ 1 2 , A ∘ ^ B ≥ 1 2 A \circ A^{c} \leq \frac{1}{2}, \quad A{\hat{\circ}} B \geq \frac{1}{2} A∘Ac≤21​,A∘^B≥21​
• A ⊆ B ⇒ A ∘ C ≤ B ∘ C , A ∘ ^ C ≤ B o ^ C A \subseteq B \Rightarrow A \circ C \leq B \circ C, A{\hat{\circ}} C \leq B{\hat{o}} C A⊆B⇒A∘C≤B∘C,A∘^C≤Bo^C

3. 格贴近度

给定F集A，让F集B靠近A，会使内积增大而外积减少。即当内积较大且外积较小时，A与B比较贴近。 所以，以内外积相结合的“格贴近度”来刻 划两个F集的贴近程度。

格贴近度： N 1 ( A , B ) = ( A ∘ B ) ∧ ( A ∘ ^ B ) c N_{1}(A, B)=(A \circ B) \wedge\left(A\hat{\circ} B\right)^{c} N1​(A,B)=(A∘B)∧(A∘^B)c

格贴近度有以下性质

• 0 ≤ N 1 ( A , B ) ≤ 1 0\le N_1(A,B)\le1 0≤N1​(A,B)≤1
• N 1 ( A , B ) = N 1 ( B , A ) N_1(A,B)=N_1(B,A) N1​(A,B)=N1​(B,A)
• N 1 ( A , A ) = a ˉ ∧ ( 1 − a ‾ ) N_1(A,A)=\bar{a}\wedge(1-\underline{a}) N1​(A,A)=aˉ∧(1−a​)
• A ⊆ B ⊆ C ⇒ N 1 ( A , C ) ≤ N 1 ( A , B ) ∧ N 1 ( B , C ) A \subseteq B \subseteq C \Rightarrow N_1(A, C) \leq N_1(A, B) \wedge N_1(B, C) A⊆B⊆C⇒N1​(A,C)≤N1​(A,B)∧N1​(B,C)

Remarks：注意根据第 3 条性质可知，格贴近度并不适合描述两个模糊集的相似程度，比如 N 1 ( U , U ) = 0 N_1(U,U)=0 N1​(U,U)=0