快排和归并排序算法的模板及运用

一、快速排序

核心思想： 把一个序列分为两部分，左半部分所有数均小于等于或大于等于右半部分所有数，递归处理左右两部分

具体步骤： 其中q为一个数组，l为数组的左端点下标，r为数组的右端点下标

• 确定分界点q[(l+r)>>1]，也就是q[(l+r)/2]
• 利用双指针交换调整左右区间，使左区间内数据均小于等于右区间内数据（升序排序），或者使左区间内数据均大于等于右区间内数据（降序排序）
• 递归处理左右区间[l,j]和[j+1,r]

算法示例：

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;
int q[N];

void quick_sort(int* q, int l, int r)//快排模板
{
	if (l >= r) return;//必须 >=
	int x = q[l + r >> 1], i = l - 1, j = r + 1;
	while (i < j)
	{
		while (q[++i] < x);
		while (q[--j] > x);
		if (i < j) swap(q[i], q[j]);
	}
	quick_sort(q, l, j);
	quick_sort(q, j + 1, r);
}

int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> q[i];
	quick_sort(q, 0, n - 1);
	for (int i = 0; i < n; ++i) cout << q[i] << " ";
}

二、快速选择

简介： 快速选择算法是基于快速排序实现的一种时间复杂度为O(n)的算法，其作用是找到一个序列中第k小的数

步骤：

• 大体上和快排算法差不多。
• 区别在于如果k小于等于左半区间的长度，递归处理左半部分；
• 否则，递归处理右半部分。

算法示例：

const int N = 100010;
int q[N];

int quick_sort(int l, int r, int k)
{
	if (l == r) return q[l]; //可以以==，也可以>=
	int x = q[l + r >> 1], i = l - 1, j = r + 1;
	while (i < j) {
		while (q[++i] < x);
		while (q[--j] > x);
		if (i < j) swap(q[i], q[j]);
	}
	int sl = j - l + 1;//sl为左区间元素的个数
	if (k <= sl) return quick_sort(l, j, k);
	return quick_sort(j + 1, r, k - sl);
}

int main()
{
	int n, k;
	cin >> n >> k;
	for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> q[i];
	cout << quick_sort(0, n - 1, k) <<endl;
}

三、归并排序

核心思想： 把两个有序且同序的序列，合并为一个有序的序列

具体步骤：

• 确定分界点，把区间[l,r]，分为[l,mid]和[mid+1,r]
• 递归处理 左右区间[l,mid]和[mid+1,r]
• 归并，把两个有序的区间合并为一个有序区间

算法示例：

const int N = 1e6 + 10;
int q[N], t[N];

void merge_sort(int* q, int l, int r)//归并排序模板
{
	if (l >= r) return;
	int mid = l + r >> 1;
	merge_sort(q, l, mid);
	merge_sort(q, mid + 1, r);
	int k = 0, i = l, j = mid + 1;
	while (i <= mid && j <= r)
	{
		if (q[i] <= q[j]) t[k++] = q[i++];
		else t[k++] = q[j++];
	}
	while (i <= mid) t[k++] = q[i++];
	while (j <= r) t[k++] = q[j++];
	for (int i = l, j = 0; i <= r; ++i, ++j) q[i] = t[j];
}

int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> q[i];
	merge_sort(q, 0, n - 1);
	for (int i = 0; i < n; ++i) cout << q[i] << " ";
}

四、逆序对的数量

逆序对定义：两个数，前者大于后者，则称这两个数为一个逆序对

简述： 求一个序列中逆序对的数量

算法示例：

typedef long long ll;//结果可能大于int的范围,函数返回值用long long类型
const int N = 100010;
int q[N], t[N];

ll merge_sort(int l, int r)
{
	if (l >= r) return 0;
	int mid = l + r >> 1;
	ll ret = merge_sort(l, mid) + merge_sort(mid + 1, r);
	int k = 0, i = l, j = mid + 1;
	while (i <= mid && j <= r) {
		if (q[i] <= q[j]) t[k++] = q[i++];
		else {
			t[k++] = q[j++];
			ret += mid - i + 1;
		}
	}
	while (i <= mid) t[k++] = q[i++];
	while (j <= r) t[k++] = q[j++];
	for (int i = l, j = 0; i <= r; ++i, ++j) q[i] = t[j];
	return ret;
}
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> q[i];
	cout << merge_sort(0, n - 1) << endl;
}