BSM的两个基本问题与python实现（欧式期权定价公式）

在我们的定义中，定量分析是数学或统计学方法在市场数据上的应用。 ——John Forman

BSM定价模型的两个基本问题：

1. 隐含波动率
   以某些到期日的期权报价倒推出这些期权的隐含波动率，并汇出图表——这是期权交易者和风险管理者每天都要面对的任务。
2. 蒙特卡洛模拟
   欧式期权价值的计算。通过蒙特卡罗技术，模拟股票在一段时间中变化。
   像Black-Scholes-Merton(1973)这样有深远影响的期权定价公式中，隐含波动率是在其他条件不变的情况下输入公式，得出不同期权行权价格和到期日测得市场报价的那些波动率值。

BSM公式（1-1）

C ( S t , K , t , T , r ) = S t ⋅ N ( d 1 ) − e − r ( T − t ) ⋅ K ⋅ N ( d 2 ) C(S_t,K,t,T,r)=S_t\cdot N(d_1)-e^{-r(T-t)} \cdot K\cdot N(d_2) C(St​,K,t,T,r)=St​⋅N(d1​)−e−r(T−t)⋅K⋅N(d2​)
N ( d ) = 1 2 π ∫ − ∞ d e − 1 / 2 x 2 d x N(d)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{d}{e^{-1/2}x^2}dx N(d)=2π ​1​∫−∞d​e−1/2x2dx
d 1 = l o g ( s T / K ) + ( r + σ 2 / 2 ) ( T − t ) σ T − t d_1=\frac{log(s_T/K)+(r+\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} d1​=σT−t ​log(sT​/K)+(r+σ2/2)(T−t)​
d 2 = l o g ( s T / K ) + ( r − σ 2 / 2 ) ( T − t ) σ T − t d_2=\frac{log(s_T/K)+(r-\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} d2​=σT−t ​lo