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图形学数学基础之基本蒙特卡罗尔积分(Monte Carlo Integration)

2023-10-31

作者：i_dovelemon
日期：2017/07/29
来源：CSDN
主题：Monte Carlo Integration

引言

好久没有写博客了，最近一直在忙于工作，同时GLB库中关于PBR的渲染算法，一直卡住，无法实现下去。不过在这段时间，阅读了大量关于PBR的论文，有了一点心得，所以今天在这里和大家分享下，在准备实现PBR中，所需要准备的一些数学基础知识。

今天要和大家分享的是在解渲染方程中，最常使用的一种数学积分方法-基本蒙特卡罗尔积分，后面会陆陆续续补充一些基于此方法的优化手段。

蒙特卡罗尔积分

假设我们有一个函数 f(x) ，我们无法通过分析的方法直接求出如下的积分：

∫π0f(x)dx
，那么当我们需要知道该积分的值的时候，又该怎么办了？

聪明的科学家们，想出了一些近似的方法来求出该积分，其中在图形学里面被经常用到的就是蒙特卡罗尔积分。

我们假设，下图就是函数 f(x) 在 [0,π] 上的曲线：

函数f(x)的函数曲线

求这个函数在 [0,π] 上的积分，实际上就是求曲线与x轴在 [0,π] 所围图形的面积，如下图所示：

函数f(x)与x轴围成的面积

由于这个图形是一个不规则的图形，想要简单的求出面积基本不可能。但是我们知道，对于该面积，当我们将
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