程序员面试题精选100题(44)－数值的整数次方
题目：实现函数double Power(double base, int exponent)，求base的exponent次方。不需要考虑溢出。
方法一:
由于输入的exponent是个int型的数值，因此可能为正数，也可能是负数。
见下面代码:
bool g_InvalidInput=false;
double Power(double base,int exponent)
{
g_InvalidInput=false;
if(base==0&&exponent<0)
{
g_InvalidInput=true;
return 0.0;
}
unsigned int unsignedExponent=static_cast<unsigned int>(exponent);
if(exponent<0)
unsigned int unsignedExponent=static_cast<unsigned int>(-exponent);
double result=PowerWithUnsignedExponent(base,unsignedExponent);
if(exponent<0)
result=1.0/result;
return result;
}
double PowerWithUnsignedExponent(double base,unsigned int exponent)
{
double result=1.0;
for(int i=1;i<=exponent;i++)
result*=base;
return result;
}
方法二:
如果我们输入的指数exponent为32，按照前面的算法，我们在函数PowerWithUnsignedExponent中的循环中至少需要做乘法31次。但我们可以换一种思路考虑：我们要求出一个数字的32次方，如果我们已经知道了它的16次方，那么只要在16次方的基础上再平方一次就可以了。而16次方是8次方的平方。这样以此类推，我们求32次方只需要做5次乘法：求平方，在平方的基础上求4次方，在4次方的基础上平方求8次方，在8次方的基础上求16次方，最后在16次方的基础上求32次方。
32刚好是2的整数次方。如果不巧输入的指数exponent不是2的整数次方，我们又该怎么办呢？我们换个数字6来分析，6就不是2的整数次方。但我们注意到6是等于2+4，因此我们可以把一个数的6次方表示为该数的平方乘以它的4次方。于是，求一个数的6次方需要3次乘法：第一次求平方，第二次在平方的基础上求4次方，最后一次把平方的结果和4次方的结果相乘。
现在把上面的思路总结一下：把指数分解了一个或若干个2的整数次方。我们可以用连续平方的方法得到以2的整数次方为指数的值，接下来再把每个前面得到的值相乘就得到了最后的结果。
到目前为止，我们还剩下一个问题：如何将指数分解为一个或若干个2的整数次方。我们把指数表示为二进制数再来分析。比如6的二进制表示为110，在它的第2位和第3位为1，因此6=2^(2-1)+2^(3-1) 。也就是说只要它的第n位为1，我们就加上2的n-1次方。
最后，我们根据上面的思路，重写函数PowerWithUnsignedExponent：
代码为:
double PowerWithUnsignedExponent(double base,unsigned int exponent)
{
std::bitset<32> bits(exponent);
if(bits.none())
return 1.0;
int numberOf1=bits.count();
double multiplication[32];
for(int i=0;i<32;i++)
{
multiplication[i]=1.0;
}
int count=0;
double power=1.0;
for(int i=0;i<32&&count<numberOf1;i++)
{
if(i==0)
power=base;
else
power=power*power;
if(bits.at(i))
{
multiplication[i]=power;
}
}
power=1.0;
for(int i=0;i<32;i++)
{
if(bits.at(i))
power*=multiplication[i];
}
return power;
}
在上述代码中，我们用C++的标准函数库中bitset把整数表示为它的二进制，增大代码的可读性。如果exponent的第i位为1，那么在数组multiplication的第i个数字中保存以base为底数，以2的i次方为指数的值。最后，我们再把所以位为1在数组中的对应的值相乘得到最后的结果。
方法三:
上面的代码需要我们根据base的二进制表达的每一位来确定是不是需要做乘法。对二进制的操作很多人都不是很熟悉，因此编码可能觉得有些难度。我们可以换一种思路考虑：我们要求出一个数字的32次方，如果我们已经知道了它的16次方，那么只要在16次方的基础上再平方一次就可以了。而16次方是8次方的平方。这样以此类推，我们求32次方只需要做5次乘法：先求平方，在平方的基础上求4次方，在4次方的基础上平方求8次方，在8次方的基础上求16次方，最后在16次方的基础上求32次方。
也就是说，我们可以用如下公式求a的n次方：
这个公式很容易就能用递归来实现。新的PowerWithUnsignedExponent代码如下：
double PowerWithUnsignedExponent(double base,unsigned int exponent)
{
if(exponent==0)
return 1;
if(exponent==1)
return base;
double result=PowerWithUnsignedExponent(base,exponent>>1);
result*=result;
if(exponent&0x1==1)
result*=base;
return result;
}
参考:<<剑指offer名企面试官精讲典型编程题>>-----何海涛
