心得体会，给自己看的。
傅里叶变换
FT、FS，DTFT、DFS
-
傅里叶变换虚部理解
每个函数都可以写成奇分量+偶分量。偶分量用很多cos合成，奇分量用很多sin合成。频谱上，实轴上冲激函数就是由这些cos合成。那如果是sin合成的呢？那就是把它转90度，乘j，就出现了复轴。
所以，实轴虚轴分别是奇偶数的分量大小。
-
傅里叶变换（包括其他变化），其实是一种映射关系，也就是说这种变化保留了所有的特征，所以才可以进行逆变换。
具体解释：时域周期对应频域离散，把频域离散分类都写成正弦和余弦加和的形式，很显然。
时域离散对应频域周期。时域与周期脉冲序列做乘法，频域就是做卷积。而脉冲序列傅里叶变换还是脉冲序列（不难求出）。和周期脉冲序列卷积，那就是在每个脉冲旁边都展开一个频谱，周期就产生了。
好像还是没解释清楚。直观一点应该是这样的，你以采样频率的倍数采样，肯定还会经过相同采样点，频谱肯定是周期的。我再取出频谱一个周期，返回来就是原来的序列了（这里只有采样频率够高才满足可逆的条件，所以采样频率要最高频率两倍，不然你频率间隔都包不住单个频谱，当然回不来。）
DFT和DFS，因为都是离散对离散，经过的是线性的系统，所以是可逆的。（变换矩阵是满秩的）
-
共轭有啥用？
利用共轭计算，一次计算就可以获得两个实数序列的FFT。（本质是FFT计算本来就要用到复数计算，但是一个实数序列本身复轴上很多0，但也要重复计算，不如一次性利用起来）。
FFT算半边，除了这个我也不清楚还有啥。
-
DFT和DFS计算是完全一样的，但是DFS是周期离散对应周期离散，计算方式是取出主值计算DFT，然后延拓。
-
Parseval定理有什么用？
说明频谱能量和时域能量相同，傅里叶变换是一个等距映射（L2）
所有傅里叶相关的公式
- 傅里叶级数
-
傅里叶变换
-
DTFT
-
DFS
-
DFT （就是和DFS一模一样，取了DFS的主值）
-
Laplace变换
-
Z变换（略）
Z变换
- 泰勒级数展开存在收敛域的限制，收敛半径是到最近极点的距离。洛朗级数可以延拓到整个定义域。
- 洛朗级数的计算方法有两种。
- 一种是计算计算围线积分。极点把定义域分成了一圈又一圈，分别给每个圈算积分，其中包含了很多复变知识，比较难算。
- 第二种是展开，0-1可以映射到1-无穷，取倒数用泰勒公式展开就行了。
- 洛朗级数就是Z变换，形式是一样的。Z变换是对于序列而言的，序列的值对应的就是幂级数的系数。虽然形式一样，但代表的含义不一样，如果你能把含义联系起来记得告诉我。
- 留数是复变函数中的一个重要概念，指解析函数沿着某一圆环域内包围某一孤立奇点的任一正向简单闭曲线的积分值除以2πi。留数数值上等于解析函数的洛朗展开式中负一次幂项的系数。
- 留数定理：设函数 在区域D内除有限个孤立奇点外处处解析，C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那么
Z逆变换要求围线积分，用留数定理会比较好求，虽然一般来说部分分式法用的更多。
- 因果系统，输出后于输入。因果信号，t>=0后产生信号。因果信号（序列）其实是指其作为单位响应时候，必须满足此条件，因为把它z变换/laplace变化，得出来的零极点分布满足因果性。
- 因果系统
Rx-<Z<=无穷
7.稳定系统
ROC包含单位圆，就是
Z
−
n
Z^{-n}
Z−n在n取0时候，就是绝对可和。
8.因果稳定
Rx-<=Z<=无穷
所有极点都在单位圆里面
关系
- Z变换和拉普拉斯变换
把拉普拉斯变换的积分改成求和，用
Z
−
n
Z^{-n}
Z−n代替
e
−
s
t
e^{-st}
e−st就是拉普拉斯变换了。本质是把t换成nT，变成了
e
−
s
n
T
e^{-snT}
e−snT，也就是书
Z
=
e
s
T
Z=e^{sT}
Z=esT,
- Laplace与傅里叶，Z变换与DFT
傅里叶变换要求绝对可积，Laplace就是乘了一个指数项使原函数绝对可积。物理意义上来说，就是在复数频域展开了原函数，定义域从
ω
{\omega}
ω（实数）变成了复数域。傅里叶变换是拉普拉斯变换在
δ
=
0
{\delta}=0
δ=0时的特殊情况。
Z变换也是一个道理，x(n)的N点DFT是x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔抽样；单位圆对应的就是
δ
=
0
{\delta}=0
δ=0，这是s域与Z域的映射关系。而N点等间隔抽样也可以理解，Z变换到单位圆上就是DTFT，频域采样就是DFT。
- DTFT和Z变换
Z变换到单位圆上就是DTFT；
- DTFT和DFS
DTFT（非周期离散到连续周期），DFS（周期离散到周期离散）。周期延拓后DTFT。
- DTFT和DFT
DFT就是x(n)的DTFT在区间[0，2π]上的N点等间隔抽样。
- 线性卷积、周期卷积、圆周卷积
线性卷积：比较简单，就是翻折然后一个个移动乘过去，长度是N1+N2-1
周期卷积：线性卷积以一定周期为长度做周期延拓。
圆周卷积（循环卷积）：就是周期卷积的主值
本文内容由网友自发贡献，版权归原作者所有，本站不承担相应法律责任。如您发现有涉嫌抄袭侵权的内容，请联系:hwhale#tublm.com(使用前将#替换为@)
