1. 向量c = a - b
2. c^2= a^2+ b^2-2abcos(theta)3.(a - b) ▪ (a - b)= a^2+ b^2 – 2a▪b = a^2+ b^2-2abcos(theta)
2. 叉乘
叉乘 = 叉积 = 外积 = 向量积
cross product = outer product
a
⃗
=
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
\vec{a} = (x_{1}, y_{1}, z_{1})
a=(x1,y1,z1)，
b
⃗
=
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
\vec{b} = (x_{2}, y_{2}, z_{2})
b=(x2,y2,z2)
从代数角度计算：
a
⃗
×
b
⃗
=
(
y
1
z
2
−
y
2
z
1
,
−
(
x
1
z
2
−
x
2
z
1
)
,
x
1
y
2
−
x
2
y
1
)
\vec{a}\times \vec{b} = (y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1},-(x_{1}z_{2}-x_{2}z_{1}), x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})
a×b=(y1z2−y2z1,−(x1z2−x2z1),x1y2−x2y1)
从几何角度计算
其中
i
⃗
\vec{i}
i、
j
⃗
\vec{j}
j、
k
⃗
\vec{k}
k分别是x轴、y轴、z轴方向的单位向量
当
z
1
z_{1}
z1、
z
2
z_{2}
z2等于0的时候，即得到二维向量叉乘的结果
a
⃗
×
b
⃗
=
∣
i
⃗
j
⃗
k
⃗
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
∣
=
(
y
1
z
2
−
y
2
z
1
)
i
⃗
−
(
x
1
z
2
−
x
2
z
1
)
j
⃗
+
(
x
1
y
2
−
x
2
y
1
)
k
⃗
\vec{a}\times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_{1} & y_{1} & z_{1}\\ x_{2} & y_{2} & z_{2}\end{vmatrix} = (y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1})\vec{i}-(x_{1}z_{2}-x_{2}z_{1})\vec{j}+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})\vec{k}
a×b=ix1x2jy1y2kz1z2=(y1z2−y2z1)i−(x1z2−x2z1)j+(x1y2−x2y1)k
P x Q >0, 则向量P在向量Q的顺时针方向；
P x Q <0, 则向量P在向量Q的逆时针方向；
P x Q =0，表示P与Q共线，可能同向也可能反向
3. 点乘 vs 叉乘，对比与应用
点乘的结果是标量(常用于物理)/数量(常用于数学)，可以用来计算夹角和投影
叉乘的结果是矢量(常用于物理)/向量(常用于数学)，法向量的模大小为
∣
a
∣
∣
b
∣
sin
θ
\left | a \right | \left | b \right | \sin \theta
∣a∣∣b∣sinθ，方向遵守右手定则
在二维空间中，叉乘结果等于向量a和b构成的平行四边形的面积，平行四边形的面积：以
∣
b
∣
sin
θ
\left | b \right | \sin \theta
∣b∣sinθ为高，以
∣
a
∣
\left | a \right |
∣a∣为底。当a是单位向量时，计算b的终点到a所在直线的距离，也就是平行四边形的高
