单位矩阵的逆矩阵是它本身吗_【2.4】Gauss-Jordan消元法求矩阵的逆

我们在高斯消元法的时候定义过最主要的一种消元操作：用某行减去另一行的

倍，并且我们知道，这个操作可以通过消除矩阵

左乘系数矩阵

实现。我们还提到某些主元为

的时候可能需要交换矩阵的两行，这个操作可以通过置换矩阵

左乘

实现。总结一下，我们可以通过

，将系数矩阵变为上三角矩阵。

现在我们想通过类似的方式求矩阵的逆，我们需要拓展两个方面：

• 我们继续通过消除矩阵把上三角矩阵
  变为对角阵
  。例如：
  ，那么我们选择
  ，通过
  。就像把
  变为上三角阵一样，再继续消元完全可以把上三角矩阵变为对角阵。
• 我们通过数乘某一行，把对角线上的元素变为
  。例如： 选取行的数乘矩阵
  ，
  ，我们把
  从
  变成了
  。不难想到 ，用这种方式我们可以把
  变为单位矩阵
  。

好了，我想说的是对于矩阵

，如果它的主元都不为

，我们可以通过：消除矩阵，置换矩阵，行的数乘矩阵等一系列操作，将它变为单位矩阵

。也就是

，根据矩阵逆的定义，

这一系列矩阵相乘的结果就是

，即

。那么如果我们把对

进行的这一系列操作同样对

进行，那么

变为

的同时，

就变为了

，即

。这就是Gauss-Jordan消元法求矩阵的逆。

明白了道理，看看例子实际操练一下Gauss-Jordan消元法求矩阵逆的过程吧：

例1：

例2：