先直观的感受一下二维空间的范数，假设在二维空间的向量为 v = ( x , y ) \bold{v} =(x,y) v=(x,y)
则v的1范数为：
∣ ∣ v ∣ ∣ 1 = ∣ ∣ ( x , y ) ∣ ∣ 1 = ∣ x ∣ + ∣ y ∣ = ( ∣ x ∣ 1 + ∣ y ∣ 1 ) 1 1 ||\bold{v}||_1 =||(x,y)||_1 = |x| + |y| = (|x|^1+|y|^1)^\frac{1}{1} ∣∣v∣∣1=∣∣(x,y)∣∣1=∣x∣+∣y∣=(∣x∣1+∣y∣1)11
v的2范数为：
∣ ∣ v ∣ ∣ 2 = ∣ ∣ ( x , y ) ∣ ∣ 2 = ∣ x ∣ 2 + ∣ y ∣ 2 = ( ∣ x ∣ 2 + ∣ y ∣ 2 ) 1 2 ||\bold{v}||_2 =||(x,y)||_2 = \sqrt{|x|^2 + |y|^2} = (|x|^2+|y|^2)^\frac{1}{2} ∣∣v∣∣2=∣∣(x,y)∣∣2=∣x∣2+∣y∣2 =(∣x∣2+∣y∣2)21
v的3范数为：
∣ ∣ v ∣ ∣ 3 = ∣ ∣ ( x , y ) ∣ ∣ 3 = ∣ x ∣ 3 + ∣ y ∣ 3 3 = ( ∣ x ∣ 3 + ∣ y ∣ 3 ) 1 3 ||\bold{v}||_3 =||(x,y)||_3 = \sqrt[3]{|x|^3 + |y|^3} = (|x|^3+|y|^3)^\frac{1}{3} ∣∣v∣∣3=∣∣(x,y)∣∣3=3∣x∣3+∣y∣3 =(∣x∣3+∣y∣3)31
推广后，得v的p范数为：
∣ ∣ v ∣ ∣ p = ∣ ∣ ( x , y ) ∣ ∣ p = ∣ x ∣ p + ∣ y ∣ p p = ( ∣ x ∣ p + ∣ y ∣ p ) 1 p ||\bold{v}||_p =||(x,y)||_p = \sqrt[p]{|x|^p + |y|^p} = (|x|^p+|y|^p)^\frac{1}{p} ∣∣v∣∣p=∣∣(x,y)∣∣p=p∣x∣p+∣y∣p =(∣x∣p+∣y∣p)p1
当 p = ∞ p=\infin p=∞ 时，有些区别，v的无穷范数为：
∣ ∣ v ∣ ∣ ∞ = ∣ ∣ ( x , y ) ∣ ∣ ∞ = m a x ( ∣ x ∣ , ∣ y ∣ ) ||\bold{v}||_\infin =||(x,y)||_\infin = max(|x|, |y|) ∣∣v∣∣∞=∣∣(x,y)∣∣∞=max(∣x∣,∣y∣)
为无穷范数时，是从x,y的绝对值中挑出一个大的
感受过二维向量的范数后，将其扩展到n维向量后，向量 x x x的范数为：
向量 x x x的1范数：
∣ ∣ x ∣ ∣ 1 = ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ ||x||_1 = \sum_{i=1}^n|x_i| ∣∣x∣∣1=i=1∑n∣xi∣
向量
x
x
x的2范数：
∣
∣
x
∣
∣
2
=
(
∑
i
=
1
n
∣
x
i
∣
2
)
1
2
||x||_2 = (\sum_{i=1}^n|x_i|^2)^\frac{1}{2}
∣∣x∣∣2=(i=1∑n∣xi∣2)21
向量
x
x
x的p范数：
∣
∣
x
∣
∣
p
=
(
∑
i
=
1
n
∣
x
i
∣
p
)
1
p
1
≤
p
<
∞
||x||_p = (\sum_{i=1}^n|x_i|^p)^\frac{1}{p} ~~~~ 1 \le p < \infin
∣∣x∣∣p=(i=1∑n∣xi∣p)p1 1≤p<∞
注意p的范围：①p不能等于无穷，对于无穷范数有额外的定义；②p可以是小数
向量 x x x的无穷范数：
∥ x ∥ ∞ = max 1 ≤ i ≤ n ∣ x i ∣ \|x\|_{\infty}=\max _{1 \leq i \leq n}\left|x_{i}\right| ∥x∥∞=1≤i≤nmax∣xi∣
定义范数后，可以直观的感受下二维范数的边界图像，即 ∥ ( x , y ) ∥ p ≤ 1 \|(x,y)\|_p\le1 ∥(x,y)∥p≤1 的函数图像。
1范数时的边界图像（
∣
x
∣
+
∣
y
∣
=
1
|x|+|y|=1
∣x∣+∣y∣=1 的图像）为：
菱形边界是函数 ∣ x ∣ + ∣ y ∣ = 1 |x|+|y|=1 ∣x∣+∣y∣=1 函数图像，菱形内部满足 ∣ x ∣ + ∣ y ∣ < 1 |x|+|y| < 1 ∣x∣+∣y∣<1。其他范数同理
2范数时的边界图像（ ∣ x ∣ 2 + ∣ y ∣ 2 = 1 \sqrt{|x|^2+|y|^2}=1 ∣x∣2+∣y∣2 =1 的图像）为：
可以通过GeoGebra p-norm ball，自己感受下不同范数下的边界图像
通过感受不同范数的图像最终可以发现如下图所示的规律，即范数越大，图像越方。同时容易明白，为什么二维无穷范数的定义是
m
a
x
(
∣
x
∣
,
∣
y
∣
)
max(|x|, |y|)
max(∣x∣,∣y∣)
对于三维空间，那就是遵循下图的变化：
GeoGebra p-norm ball：https://www.geogebra.org/m/pyxfvyyk
第八课：向量的范数：https://zhuanlan.zhihu.com/p/30279795
