伴随矩阵
设
A
=
[
a
i
j
]
A=[a_{ij}]
A=[aij]是
n
n
n阶方阵，行列式
∣
A
∣
|A|
∣A∣的每个元素
a
i
j
a_{ij}
aij的代数余子式
A
i
j
A_{ij}
Aij所构成的如下的矩阵：
A
∗
=
[
A
11
A
21
…
a
n
1
A
12
a
22
…
a
n
2
⋮
⋮
⋮
A
1
n
a
2
n
…
a
n
n
]
A^* = \left[ \begin{matrix} A_{11}& A_{21}& \dots& a_{n1}\\ A_{12}& a_{22}& \dots& a_{n2}\\ \vdots& \vdots& & \vdots\\ A_{1n}& a_{2n}& \dots& a_{nn}\\ \end{matrix} \right]
A∗=⎣⎢⎢⎢⎡A11A12⋮A1nA21a22⋮a2n………an1an2⋮ann⎦⎥⎥⎥⎤
称为矩阵
A
A
A的伴随矩阵.
示例
设
A
=
[
a
b
c
d
]
A=\left[ \begin{matrix} a& b\\ c& d\\ \end{matrix} \right]
A=[acbd],由行列式
∣
a
b
c
d
∣
\left|\begin{matrix} a& b\\ c& d\\ \end{matrix} \right|
∣∣∣∣acbd∣∣∣∣得到代数余子式：
{
A
11
=
d
A
12
=
−
c
A
21
=
−
b
A
22
=
a
⟹
A
∗
=
[
A
11
A
21
A
12
A
22
]
=
[
d
−
b
−
c
a
]
\left\{ \begin{array}{l} A_{11}=d\\ A_{12}=-c\\ A_{21}=-b\\ A_{22}=a\\ \end{array} \right. \Longrightarrow A^*=\left[ \begin{matrix} A_{11}& A_{21}\\ A_{12}& A_{22}\\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} d& -b\\ -c& a\\ \end{matrix} \right]
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧A11=dA12=−cA21=−bA22=a⟹A∗=[A11A12A21A22]=[d−c−ba]
逆矩阵
设
A
A
A是
n
n
n阶矩阵，如果存在
n
n
n阶矩阵
B
B
B使得
A
B
=
B
A
=
E
(
单
位
矩
阵
)
AB=BA=E(单位矩阵)
AB=BA=E(单位矩阵)成立，则称
A
A
A是可逆矩阵或者非奇异矩阵，
B
B
B是
A
A
A的逆矩阵.
矩阵的初等变换
对
m
×
n
m \times n
m×n矩阵，下列三种变换：
- 用非零常数
k
k
k乘矩阵的某一行；
- 互换矩阵某两行(列)的位置；
- 把某行(列)的
k
k
k倍加至另一行(列）；
称为矩阵的初等行(列)变换，且统称为矩阵的初等变换.
如果矩阵
A
A
A经过有限次初等变换变成矩阵
B
B
B，则称矩阵
A
A
A与矩阵
B
B
B等价，记作
A
≅
B
A \cong B
A≅B.
初等矩阵
单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵.
行阶梯矩阵与行最简矩阵
行阶梯矩阵
满足以下条件：
- 如果矩阵中有零行，则零行在矩阵的底部.
- 每个非零行的主元(即该行最左边的第一个非零元)，他们的列指标随着行指标的递增而严格增大.
称为行阶梯矩阵.
如：
[
1
2
3
0
0
0
0
0
4
]
,
[
1
2
3
0
4
5
0
6
7
]
都
不
是
行
阶
梯
矩
阵
.
\left[\begin{matrix} 1& 2& 3\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 4\\ \end{matrix}\right],\left[\begin{matrix} 1& 2& 3\\ 0& 4& 5\\ 0& 6& 7\\ \end{matrix}\right]都不是行阶梯矩阵.
⎣⎡100200304⎦⎤,⎣⎡100246357⎦⎤都不是行阶梯矩阵.
[
1
2
0
3
0
1
−
1
5
0
0
0
0
]
,
[
1
2
0
3
0
1
−
1
5
0
0
0
6
]
都
是
行
阶
梯
矩
阵
.
\left[\begin{matrix} 1& 2& 0& 3\\ 0& 1& -1& 5\\ 0& 0& 0& 0\\ \end{matrix}\right],\left[\begin{matrix} 1& 2& 0& 3\\ 0& 1& -1& 5\\ 0& 0& 0& 6\\ \end{matrix}\right]都是行阶梯矩阵.
⎣⎡1002100−10350⎦⎤,⎣⎡1002100−10356⎦⎤都是行阶梯矩阵.
行最简矩阵
满足以下条件：
- 是行阶梯矩阵
- 非零行的主元都是1，且满足主元所在的列的其他元素都是0.
则称为行最简矩阵.
如：
[
1
0
0
3
0
1
−
1
5
0
0
0
0
]
,
[
1
0
0
0
0
1
−
1
0
0
0
0
1
]
都
是
行
阶
梯
矩
阵
.
\left[\begin{matrix} 1& 0& 0& 3\\ 0& 1& -1& 5\\ 0& 0& 0& 0\\ \end{matrix}\right],\left[\begin{matrix} 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{matrix}\right]都是行阶梯矩阵.
⎣⎡1000100−10350⎦⎤,⎣⎡1000100−10001⎦⎤都是行阶梯矩阵.
正交矩阵
n
n
n阶矩阵
A
A
A，如果满足
A
A
T
=
A
T
A
=
E
AA^T=A^TA=E
AAT=ATA=E,则称为正交矩阵.
A
T
=
A
−
1
,
∣
A
∣
2
=
1
A^T = A^{-1},|A|^2=1
AT=A−1,∣A∣2=1
