欧几里得二维空间中的一个点由有序的实数对
(
x
,
y
)
(x,y)
(x,y)表示。我们可以为这一对添加一个额外的坐标,给出一个三元组
(
x
,
y
,
1
)
(x,y,1)
(x,y,1),我们声明它们代表相同的点。这似乎无害,因为我们可以通过添加或删除最后一个坐标,从该点的一个表示返回前进到另一个表示。
我们现在采取重要的概念步骤,询问为什么最后一个坐标需要为1 - 毕竟,其他两个坐标不是那么受约束。坐标三元组
(
x
,
y
,
2
)
(x,y,2)
(x,y,2)怎么样?在这里,我们做出一个定义,并说
(
x
,
y
,
1
)
(x,y,1)
(x,y,1)和
(
2
x
,
2
y
,
2
)
(2x,2y,2)
(2x,2y,2)代表相同的点,而且,
(
k
x
,
k
y
,
k
)
(kx,ky,k)
(kx,ky,k)也代表相同的点,其中是对于任何非零值
k
k
k均成立。形式上,点由坐标三元组的等价类表示,其中两个三元组在它们相差一个共同倍数时是等价的。这些被称为点的齐次坐标。给定坐标三元组
(
k
x
,
k
y
,
k
)
(kx,ky,k)
(kx,ky,k),我们可以通过除以k得到原始坐标得到
(
x
,
y
)
(x,y)
(x,y)。
读者将观察到虽然
(
x
,
y
,
1
)
(x,y,1)
(x,y,1)表示与坐标对
(
x
,
y
)
(x,y)
(x,y)相同的点,但没有对应于三元组
(
x
,
y
,
0
)
(x,y,0)
(x,y,0)的点。 如果我们试图除以最后一个坐标,我们得到无限的点
(
x
/
0
,
y
/
0
)
(x/0,y/0)
(x/0,y/0), 这就是无穷远点。 它们是由齐次坐标表示的点,其中最后一个坐标为零。
一旦我们看到如何为二维欧几里德空间做到这一点,通过将点表示为齐次向量将其扩展到射影空间,很明显我们可以在任何维度上做同样的事情。 通过将点表示为齐次向量,欧几里德空间
I
R
n
\mathcal{\rm IR}^n
IRn可以扩展到射影空间
I
P
n
\mathcal{\rm IP}^n
IPn。 事实证明,二维射影空间中无穷远处的点形成一条线,通常称为无穷远处的线。 在三维空间中,它们形成无限远的平面。
从射影几何的角度来看,无穷远处的点与其他点没有任何不同。就像欧几里德空间是一致的一样,投射空间也是如此。点的无穷大属性在齐次坐标表示中即最后一个坐标为零,只不过是坐标系选择的原因。通过类比欧几里德或仿射变换,我们可以定义射影空间的射影变换。欧几里德空间
I
R
n
\mathcal{\rm IR}^n
IRn的线性变换由应用于该点坐标的矩阵乘法表示。以相同的方式,射影空间
I
P
n
\mathcal{\rm IP}^n
IPn的射影变换是表示点
a
n
(
n
+
1
)
{\rm an} (n+1)
an(n+1)- 矢量的齐次坐标的映射,其中坐标矢量乘以非奇异矩阵。在这种映射下,无穷远处的点(最后一维坐标为零)被映射到任意其他点。无穷远处的点不会被保留。因此,射影空间
I
P
n
\mathcal{\rm IP}^n
IPn的射影变换由齐次坐标的线性变换表示.
X
′
=
H
(
n
+
1
)
×
(
n
+
1
)
X
X'=H_{(n+1)\times(n+1)}X
X′=H(n+1)×(n+1)X
(
x
−
a
w
)
2
+
(
y
−
b
w
)
2
=
r
2
w
2
(x-aw)^2+(y-bw)^2=r^2w^2
(x−aw)2+(y−bw)2=r2w2
这表示具有以齐次坐标表示的中心的圆
(
x
0
,
y
0
,
w
0
)
T
=
(
a
,
b
,
1
)
T
(x_0,y_0,w_0)^T=(a,b,1)^T
(x0,y0,w0)T=(a,b,1)T。 很快证实点
(
x
,
y
,
w
)
T
=
(
1
,
±
i
,
0
)
T
(x,y,w)^T=(1,\pm i,0)^T
(x,y,w)T=(1,±i,0)T位于每个这样的圆上。
1
+
i
2
=
0
,
是
必
然
1+i^2=0,是必然
1+i2=0,是必然
为了重复这个有趣的事实,每个圆都通过点
(
1
,
±
i
,
0
)
T
(1,\pm i,0)^T
(1,±i,0)T,因此它们位于任意两个圆的交点。 由于它们的最终坐标为零,因此这两个点位于无穷远处。
由于显而易见的原因,它们被称为平面的圆形点(虚圆点,circular points)。 注意,尽管两个圆点是复杂的,但它们满足一对实方程:
x
2
+
y
2
=
0
;
w
=
0
x^2+y^2=0;w=0
x2+y2=0;w=0。
这一思路导致发现在齐次坐标
(
X
,
Y
,
Z
,
T
)
T
(\rm X,Y,Z,T)^T
(X,Y,Z,T)T中,所有球体在无穷远处与平面相交,其方程为:
X
2
+
Y
2
+
Z
2
=
0
;
T
=
0
\rm X^2+Y^2+Z^2=0;T=0
X2+Y2+Z2=0;T=0。这是位于无穷远平面上的二度曲线(圆锥曲线,a conic),仅由复杂点组成。 它被称为绝对二次曲线(absolute conic),是关键几何实体之一,尤其是因为它与相机校准相关联,这将在后面看到。
共轭点的几何和代数表示在以后会讲,想提前明白请百度。简而言之,如果绝对二次曲线由3×3对称矩阵
Ω
∞
\Omega_\infty
Ω∞表示,并且方向是点
d
1
d_1
d1和
d
2
d_2
d2,则如果相对于
Ω
∞
\Omega_\infty
Ω∞共轭则有
d
1
T
Ω
∞
d
2
=
0
d_1^T\Omega_\infty d_2=0
d1TΩ∞d2=0。更一般地,角度可以根据任意坐标系中的绝对二次曲线来定义,如下所表示的。
cos
θ
(
d
1
T
Ω
∞
d
2
)
(
d
1
T
Ω
∞
d
1
)
(
d
2
T
Ω
∞
d
2
)
\cos \theta \frac{(d_1^T\Omega_\infty d_2)}{\sqrt{(d_1^T\Omega_\infty d_1)(d_2^T\Omega_\infty d_2)}}
cosθ(d1TΩ∞d1)(d2TΩ∞d2)(d1TΩ∞d2)