MATLAB数值计算——矩阵运算乘法、除法、乘方

一、矩阵

1. 矩阵是线性代数的基本单元
2. 矩阵含有M行N列数值
3. 矩阵中的元素可以是实数或复数
4. 矩阵相关的基本运算：加、减、内积、逆矩阵、转置、线性方程式、特征值、特征向量、矩阵分解

二、矩阵的运算

2.1、矩阵的乘法运算

运算符：

*          %矩阵乘法
.*         %矩阵对应元素相乘（数组运算）

A*B      %矩阵A与矩阵B相乘. 若A是m行n列，B是n行k列，则其相乘之后的矩阵C为m行k列
a.*b     %矩阵a与矩阵b各个元素相乘
a.*b.*c
a.^2     %矩阵a中各个元素的平方 
a./b     %矩阵a中各个元素除以矩阵b中各个元素
a.\b     %矩阵b中各个元素除以矩阵a中各个元素

注：矩阵的乘法运算中没有乘法交换律

2.2、矩阵的除法运算

运算符：

/  %矩阵左除
\  %矩阵右除
./ %矩阵点左除(数组运算)
.\ %矩阵点右除(数组运算)

*注：
x=B/A是方程xA=B的解。即x=A的逆矩阵乘矩阵B
x=A\B是方程Ax=B的解。即x=B的逆矩阵乘矩阵A
若A为非奇异矩阵，则B/A和A\B可如下获得：

B/A=B*inv(A) %inv为逆矩阵的指令
A\B=inv(A)*B*

矩阵除法运算的应用：
求解线性方程组：
2x1-x2+3x3=5
3x1+x2-5x3=5
4x1-x2+x3=9

A=[2,-1,3;3,1,-5;4,-2,1];
B=[5;5;9];
X=A\B  %或X=inv(A)*B

2.3、矩阵的乘方运算

运算符：

^   %表示乘方
.^  %表示矩阵中每一个数的乘方

^的运算规则：
A为方阵，P为＞0的整数时，A^P表示A自乘P次
P为＜0的整数时，A^P表示A的逆矩阵的|P|次方
即：A^-3=inv(A) ^3

.^ 的运算规则：
1、A.^P表示矩阵中每个元素的P次乘方
2、维度相同的A、B矩阵求A.^B，表示矩阵A中对矩阵B中对应元素求幂，即求取矩阵A和矩阵B之点乘。结果矩阵与原矩阵维度相同。