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1. 引言
众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数，求这一函数。所以，微分与积分互为逆运算。实际上，积分还可以分为两部分。第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，称为不定积分。相对而言，另一种就是定积分了，之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。计算定积分的方法很多，而高斯—勒让德公式就是其中之一。
高斯积分法是精度最高的插值型数值积分，具有
2n+1
2
n
+
1
阶精度，并且高斯积分总是稳定。而高斯求积系数，可以由Lagrange多项式插值系数进行积分得到。
高斯-勒让德求积公式是构造高精度差值积分的最好方法之一。他是通过让节点和积分系数待定让函数
f(x)
f
(
x
)
以此取
i=0,1,2....n
i
=
0
,
1
,
2....
n
次多项式使其尽可能多的能够精确成立来求出积分节点和积分系数。高斯积分的代数精度是
2n−1
2
n
−
1
，而且是最高的。通常运用的是
(−1,1)
(
−
1
,
1
)
的积分节点和积分系数，其他积分域是通过一定的变换变换到-1到1之间积分。
2. 高斯-勒让德求积公式
在区间
[−1,1]
[
−
1
,
1
]
上，高斯-勒让德求积公式为
∫1−1f(x)dx≈∑k=0xAkf(xk)
∫
−
1
1
f
(
x
)
d
x
≈
∑
k
=
0
x
A
k
f
(
x
k
)
我们知道勒让德多项式
Pn+1(x)
P
n
+
1
(
x
)
的零点就是求积公式的高斯点，形如上式的高斯公式特别的称为高斯-勒让德公式。
若取
P1(x)=x
P
1
(
x
)
=
x
的零点
x0=0
x
0
=
0
做节点构造求积公式
∫1−1f(x)dx≈A0f(0)
∫
−
1
1
f
(
x
)
d
x
≈
A
0
f
(
0
)
令它对
f(x)=1
f
(
x
)
=
1
准确成立，即可定出
A0=2
A
0
=
2
。这样构造出的一点高斯-勒让德求积公式是中矩形公式，再取
P2(x)=12(3x2−1)
P
2
(
x
)
=
1
2
(
3
x
2
−
1
)
的两个零点
±13√
±
1
3
构造求积公式
∫1−1f(x)dx≈A0f(−13–√)+A1f(13–√)
∫
−
1
1
f
(
x
)
d
x
≈
A
0
f
(
−
1
3
)
+
A
1
f
(
1
3
)
令它对
f(x)=1,x
f
(
x
)
=
1
,
x
都准确成立，有
⎧⎩⎨A0+A1=2,A0(−13–√)+A1(13–√)=0
{
A
0
+
A
1
=
2
,
A
0
(
−
1
3
)
+
A
1
(
1
3
)
=
0
由此解出
A0=A1=1
A
0
=
A
1
=
1
，从而得到两点高斯-勒让德求积公式
∫1−1f(x)dx≈f(−13–√)+f(13–√)
∫
−
1
1
f
(
x
)
d
x
≈
f
(
−
1
3
)
+
f
(
1
3
)
三点高斯-勒让德公式的形式是
∫1−1f(x)dx≈59f(−15−−√5)+89f(0)+59f(15−−√5)
∫
−
1
1
f
(
x
)
d
x
≈
5
9
f
(
−
15
5
)
+
8
9
f
(
0
)
+
5
9
f
(
15
5
)
下表给出常用的高斯-勒让德求积公式的节点和系数
| 节点数 |
xk
x
k
|
Ak
A
k
|
| 1 |
0.0000000 |
2.0000000 |
| 2 |
±
±
0.5773503 |
1.0000000 |
| 3 |
±
±
0.7745967 0.0000000 |
0.5555556 0.8888889 |
| 4 |
±
±
0.8611363
±
±
0.3399810 |
0.3478548 0.6521452 |
当积分区间不是
[−1,1]
[
−
1
,
1
]
，而是一般的区间
[a,b]
[
a
,
b
]
，只要做变换
x=b−a2t+a+b2
x
=
b
−
a
2
t
+
a
+
b
2
可将
[a,b]
[
a
,
b
]
化为
[−1,1]
[
−
1
,
1
]
，这时
∫baf(x)dx=b−a2∫1−1f(b−a2t+a+b2)dt
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
b
−
a
2
∫
−
1
1
f
(
b
−
a
2
t
+
a
+
b
2
)
d
t
3. Matlab数值求解高斯-勒让德积分
例1：用两点高斯-勒让德积分公式求
∫10x3dx
∫
0
1
x
3
d
x
。
我们可以很容易知道结果为
0.25
0.25
接下来用matlab数值求解：
GaussP=[-0.5773503 0.5773503]; %高斯点
GaussA=[1 1]; %高斯系数
h = 0.1; %剖分步长
x = 0:h:1; %区间[0,1]
for i=1:length(x)-1
points = h/2*GaussP + (x(i+1)+x(i))/2; %区间变换
f(i) = 0;
for k=1:2
f(i) = f(i) + h/2*points(k)^2*GaussA(k);
end
end
result = sum(f)
可以得到结果为：0.250000000133413。
例2：用三点高斯-勒让德积分公式求
∫10x2(1−x)2dx
∫
0
1
x
2
(
1
−
x
)
2
d
x
。
我们可以很容易知道结果为
130≈0.033333333333333
1
30
≈
0.033333333333333
接下来用matlab数值求解：
GaussP=[-0.7745967 0 0.7745967]; %高斯点
GaussA=[0.5555556 0.8888889 0.5555556]; %高斯系数
h = 0.1; %剖分步长
x = 0:h:1; %区间[0,1]
for i=1:length(x)-1
points = h/2*GaussP + (x(i+1)+x(i))/2; %区间变换
f(i) = 0;
for k=1:3
f(i) = f(i) + h/2*(points(k)^2*(1-points(k))^2)*GaussA(k);
end
end
result = sum(f)
结果为：0.033333334999780
