基于MATLAB的特征值与特征向量（附完整代码）

2023-10-27

一. 一般矩阵的特征值与特征向量

A为n阶矩阵，若数 $\lambda$ 和向量x满足 $Ax=\lambda x$ ，那么数 $\lambda$ 称为A的特征值，x称为A对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。如果把式子改写成 $(A-\lambda E)x=0$ ，那么 $|A-\lambda E|$ 就叫做A的特征多项式。

在MATLAB中，求解特征值和特征向量，格式如下：

[V,D]=eig(A)

备注：该函数也可以只求一个量

例题1

利用两种方法求矩阵A的特征值与特征向量，并验证其对应的范数误差。

$A=\begin{bmatrix}16&2&3&13\\ 5&11&10&8\\ 9&7&6&12\\ 4&14&15&1\\ \end{}$

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;
A=[16 2 3 13;5 11 10 8;9 7 6 12;4 14 15 1];

%直接求解
[v,d]=eig(A)
norm1=norm(A*v-v*d)

%解析解
[v,d]=eig(sym(A))
norm2=norm(double(A*v(:,2)-34*v(:,2))) %double函数转换为双精度类型

运行结果：

v =

-0.5000 -0.8236 0.3764 -0.2236
-0.5000 0.4236 0.0236 -0.6708
-0.5000 0.0236 0.4236 0.6708
-0.5000 0.3764 -0.8236 0.2236

d =

34.0000 0 0 0
0 8.9443 0 0
0 0 -8.9443 0
0 0 0 -0.0000

norm1 =1.2284e-14

v =
[ -1, 1, (12*5^(1/2))/31 - 41/31, - (12*5^(1/2))/31 - 41/31]
[ -3, 1, 17/31 - (8*5^(1/2))/31, (8*5^(1/2))/31 + 17/31]
[ 3, 1, - (4*5^(1/2))/31 - 7/31, (4*5^(1/2))/31 - 7/31]
[ 1, 1, 1, 1]

d =
[ 0, 0, 0, 0]
[ 0, 34, 0, 0]
[ 0, 0, -4*5^(1/2), 0]
[ 0, 0, 0, 4*5^(1/2)]

norm2 =0

二. 广义特征向量问题

广义特征向量的表达式，如下：

$Ax=\lambda Bx$

如果上式子中的B=I，那么就是普通矩阵特征值问题。求解广义特征值与特征向量的MATLAB格式如下：

[V,D]=eig(A,B)

很遗憾的是，符号运算工具箱中的eig()函数不支持广义特征值的相关运算。

例题2

求A,B的广义特征值与特征向量矩阵。

$A=\begin{bmatrix}5&7&6&5\\ 7&10&8&7\\ 6&8&10&9\\ 5&7&9&10\\ \end{}$ ， $A=\begin{bmatrix}2&6&-1&-2\\ 5&-1&2&3\\ -3&-4&1&10\\ 5&-2&-3&8\\ \end{}$

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;
A=[5 7 6 5;7 10 8 7;6 8 10 9;5 7 9 10];
B=[2 6 -1 -2;5 -1 2 3;-3 -4 1 10;5 -2 -3 8];
[V,D]=eig(A,B)

norm(A*V-B*V*D)

运行结果：

V =

0.3697 + 0.0000i -0.3741 + 0.6259i -0.3741 - 0.6259i 1.0000 + 0.0000i
0.9948 + 0.0000i -0.0674 - 0.2531i -0.0674 + 0.2531i -0.6090 + 0.0000i
0.7979 + 0.0000i 0.9239 + 0.0264i 0.9239 - 0.0264i -0.2316 + 0.0000i
1.0000 + 0.0000i -0.6599 - 0.3263i -0.6599 + 0.3263i 0.1319 + 0.0000i

D =

4.7564 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i
0.0000 + 0.0000i 0.0471 + 0.1750i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i
0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0471 - 0.1750i 0.0000 + 0.0000i
0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i -0.0037 + 0.0000i

ans =

3.3761e-14

三.稀疏矩阵的最大特征值

计算稀疏矩阵k个模最大特征值，MATLAB格式如下：

d=eigs(A,k)

同时计算最大特征值与特征向量，MATLAB格式如下：

[V,D]=eigs()

例题3

利用delsq和numgrid函数生成稀疏矩阵，求该稀疏矩阵的六个模最大特征值，并分析该方法的误差。

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;
A=delsq(numgrid('C',15));
%生成稀疏矩阵，这个稀疏矩阵有点复杂，感兴趣的小伙伴可自行查找下 delsq和numgrid函数
[v,d]=eigs(A,6) %6代表6个模
norm=norm(A*v-v*d)

运行结果：

d =

7.8666 0 0 0 0 0
0 7.7324 0 0 0 0
0 0 7.6531 0 0 0
0 0 0 7.5213 0 0
0 0 0 0 7.4480 0
0 0 0 0 0 7.3517

norm =

1.4182e-14
特征向量的结果较长，此处仅显示一部分。

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