递推方程求解方法

总结一下递推方程的求解方法。

主要介绍六种方法：迭代法，差消法，递归树，主定理，特征根法，母函数法。

欢迎大家批评指正~

1、迭代法

不断用递推方程的右部替换左部，下面以汉诺塔为例进行求解。

有时候直接迭代可能不太方便，可以使用换元迭代。下面以二分归并排序迭代方程为例进行求解。

2、差消法

     差消法一般应用在递归方程右边不仅仅只依赖于当前项的前一项，而是前很多项，这种递归方程直接用迭代法很麻烦。属于高阶递归方程，因此要先把高阶递归方程进行差消，再进行迭代。以快速排序的递归方程为例。

3、递归树

建立递归树，每次迭代将函数项作为儿子，非函数项作为根的值。以二分归并排序递归方程为例。

4、主定理

下面举一个例子：

5、特征根法

使用特征根解法需要判断递推方程是线性还是非线性，写出特征方程，对特征方程进行求解，根据特征方程的解是两个不同的实根、两个相等的实根、虚根等写出通解，最终得出递推方程的解。下面举一个非齐次线性递推关系两个不同实根的例子。

 解递推关系：

解：

首先确定这是一个非齐次递推关系式，先写出对应其次递推关系式的特征方程为：

求出特征根为 x1 = 3, x2 = 4 为两个不等实根。对应的齐次递推关系的通解为

由于原递推关系为非齐次，于是设特解为：，将其带入非齐次递推关系的通解中，求出A和B。可以得到A=2，B=1。所以对应非齐次递推关系的通解为：

最后将初始条件带入该通解，可以求出。所以通解为：

6、母函数法

终于把母函数学会了。。。。。果然数学基础还是很重要的。。。。。