基于累加的PDM算法的原理
- 基于累加的PDM算法(2)
PDM编码原理如下：
单片机能输出Sin(t)吗？能，DA。
没有DA怎么办？PWM。
没有PWM怎么办？
事情就是这么来的。20多年前，不要说单片机内没有PWM，而且当时的MCS-51系列内连Timer2还没有呢。这个算法就是20多年前逼出来的。
下面看我怎样在数字端口输出SQRT(0.5)= 0.70710678…。
假设我们要输出实数值x，x在[0,1)。
我们只需要一个变量存累计数，事实上，我们只须保存尾数，不妨就叫它为Mantissa。Mantissa可以有[0,1)范围内的任意初始值。
下面一段程序是在定时中断内执行的。中断间隔是由你系统的需要和MCU的能力确定的。
Timer_ISR:
…
Mantissa += x ;
If (Mantissa >= 1) { Pout = 1 ; Mantissa -= 1 ; }
Else Pout = 0 ; //从哪个数字口Pout输出由你定
…
END of Timer_ISR.
每中断一次，端口输出一个0或1。
我们看一下当x= 0.7071…和初值Mantissa=0.5时，每次中断输出的实例：
1，0，1，1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，…
那么输出序列中1的个数(h)/中断次数(n)：
h/n=
1/1，1/2，2/3，3/4，4/5，4/6，5/7，6/8，6/9，7/10，8/11，8/12，9/13，…，11/16，…，23/32，…，45/64，…，91/128，…，181/256，…，…，23170/32768，…
化做小数容易对比，h/n=
1，0.5，0.6667，0.75，0.8，0.6667，0.7143，0.75，0.6667，0.7，0.7273，0.6667，0.6923，…，0.6875(n=16)，…，0.71875(n=32)，…，0.7031(n=64)，…，0.7109(n=128)，…，0.70703(n=256)，…，…，0.70709(n=32768)，…
我们可以看到，h/n是0.70710678…的最佳分数逼近（就同样的分母而言），而且随着n的增加，逼近的精度就越来越高了。如何选择中断间隔和输出端的滤波参数，就看系统对精度的要求了。当然，还受到MCU能力的限制。
在实际运用中，考虑到MCU的能力限制，我们要把算法变得更高效。例如：
由精度的要求，考虑一个合适的整数N(N=256，一般就够1%了)，那么x也放大N倍成H=x*N；Mantissa也用整数CNT。那么，算法也就如上一篇中抛出的：
Timer_ISR:
…
CNT += H ;
If (CNT >= N) { Pout = 1 ; CNT %= N; } //或CNT -= N，就看哪个快
Else Pout = 0 ;
…
END of Timer_ISR.
这个算法的特点就是：在N个时钟周期内，均匀地送出H个1。
对8位、16位、32位MCU，我们选特定的N=256、N=65536、N=2^32。
那么一次加法就够了：
Timer_ISR:
…
CNT += H ;
Pout = Carry_Bit ; //直接输出进位到端口。
…
END of Timer_ISR.
20多年前，在8051中，我每一次定时器中断管3个PDM输出。就这么几句汇编：
Timer_ISR:
...
MOV A,CNT1
ADD A,H1
MOV CNT1,A
MOV Px.1,C
MOV A,CNT2
ADD A,H2
MOV CNT2,A
MOV Px.2,C
MOV A,CNT3
ADD A,H3
MOV CNT3,A
MOV Px.3,C
...
RETI
顺便说，在ARM Cortex-M中，用N=2^32比用N=2^8、N=2^16都要快。反一下汇编就知道了，因为运算是32位的，要8位、16位，还要从32位截下来，白白花费一些CPU周期。ARM Cortex-M系统，在Systick中，用汇编做软件PDM，挺不错的。
这种算法，用中国的成语说，就叫做“集腋成裘”，狐狸的腋毛积累到够做一件裘衣，就先做一件，剩下的零头归到下次继续积。
另外，AD、DA也常用到“Sigma-Delta”，我们的这种算法，洋叫法是不是可以叫做“Software Sigma-Delta” ？
现在MCU内，DA、PWM都不当回事了，还要翻这老黄历干吗？老黄历还有新用场，这就是我晒这粒陈芝麻的用意。后面慢慢道来。
The Priciple of The PWM Algorithm Based On Addition
- A PDM Algorithm Based On Addition (2)
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