【工程师学算法】工程常用算法（一）—— 最小二乘法

2023-05-16

1 功能

最小二乘法是基于大量带有误差的数据估计真值的算法。首先要注意，使用这个算法，首先要满足一个条件：大量，如果测量数据和要估计的真值形成一对一的关系，那显然估计是毫无意义的。测量数据必须相对于带估计的数值是“冗余”的。举个例子，你用直尺测量绳子的长度，只量一次，那么你测多少就是多少，只有你测试次数的足够多，获得的数据才可以用最小二乘法估计真值。

最小二乘法，为什么叫“最小二乘”？实际上，“二乘”的意思就是“平方”，也即是“最小平方法”。什么的最小平方呢，当然是误差的最小平方啦。

2 公式推导

我们从最简单的说起：量长度，我们对一个绳子的长度测了好几次，第i次的长度计为

设 $\LARGE \widehat{x}$ 为估计值，那么误差 $\LARGE e$ 的表达式就是：

误差的平方 $\LARGE D$ 可以写成：

要让误差的平方 $\LARGE D$ 最小，也就是求这个函数的最小极值，求导就行：

根据上式可得：

一看这公式，恍然大悟，原来就是取平均值啊。真没想到求算术平均竟然也是最小二乘法的应用呢！

上面是找的是长度，说白了是在找 $\LARGE f(x)=a$ (a为常数) ，下面来说一个复杂的:

我们现在手上有大把的 $\LARGE (x_{i},y_{i})$ ,如何估计出 $\LARGE a$ 和 $\LARGE b$ 呢？

首先构造误差的平方 $\LARGE D$ ：

这次有俩参数，要求偏导为0：

由D对b的偏导分析得到：

由D对a的偏导分析得到：

现在大家应该知道最小二乘法的套路了:

找到需要拟合的函数 $\large f(x)$
构造误差平方和 $\large D=\sum [f(x_{i})-y_{i}]^2$
求出拟合函数中各参数的偏导，并使之为0，然后求解等式即可得到参数的最小二乘估计值。

理解了基本原理，我们就可以开始用于各种工程项目中的参数估计和函数拟合啦.

3 抽象

一个优秀的工程师不能只满足会用，我们不妨在做进一步思考：如何把最小二乘写成矩阵形式以适应高阶参数估计呢？当写出了最小二乘法的矩阵形式，是不是意味着我们在线性区域实现了“一招鲜，吃遍天”？

首先掏出一个多元线性函数：

写成矩阵形式：

我们的数据是大量的 $\large （x_{1},x_{2},……，x_{n},y）_{i}$ $\LARGE (x_{1},x_{2},...,x_{n},y)_{i}$ ,一共有m组且m>n（m=n时直接求解），我们将其写成矩阵形式：

现在矩阵X的尺寸为m*(n+1)，矩阵Y的尺寸为m*1，我们是要使用最小二乘法求出公式中的系数矩阵：

我们将误差平方和函数使用矩阵形式表达可得：

为了将其化简，我们先复习一下和转置相关的矩阵公式：

将误差平方和函数展开：

接下来就是对其求偏导并使之等于0矩阵：

即可得到：

以上这种写法有些别扭，因为我设置X矩阵为列向量，A矩阵为行向量了，按照书本上主流的写法，X矩阵为行向量，A矩阵为列向量，则公式应写为：

4 总结

以上就是对最小二乘的介绍。本文只给出了线性回归的一般公式，在遇到非线性函数的拟合时，理论仍然可以使用这种方法做拟合，但是需要对公式做一些变形，这其中有很多tricks，比如对数据进行预处理，使得样本呈线性关系。

综上所述，最小二乘法是一种在拥有充足（冗余）的样本时，对所期望的公式拟合进而得到准确参数的方法。

下一章，我们介绍：卡尔曼滤波

本文内容由网友自发贡献，版权归原作者所有，本站不承担相应法律责任。如您发现有涉嫌抄袭侵权的内容，请联系:hwhale#tublm.com(使用前将#替换为@)