一、最短路径问题(shortest path problem)
最短路径问题是图论研究中一个经典算法问题,旨在寻找图中两节点或单个节点到其他节点之间的最短路径。根据问题的不同,算法的具体形式包括:
确定起点的最短路径问题,即给定起始节点,求该节点到其他剩余节点的最短路径,适合使用Dijkstra算法;
确定终点的最短路径问题,即给定终点,求其他节点到该终点的最短路径。在无向图中,该问题与确定起点的问题等价;在有向图中,问题等价于把所有路径方向反转的确定起点的问题;
确定起点终点的最短路径问题,即给定起点和终点,求两节点之间的最短路径;
全局最短路径问题,即求图中所有节点之间的最短路径,适合使用Floyd-Warshall算法。
常用的最短路径算法包括:Dijkstra算法,A
算法,Bellman-Ford算法,SPFA算法(Bellman-Ford算法的改进版本),Floyd-Warshall算法,Johnson算法以及Bi-direction BFS算法。本文将重点介绍Dijkstra算法的原理以及实现。
二、Dijkstra算法介绍
1. 算法概览
Dijkstra算法,翻译作戴克斯特拉算法或迪杰斯特拉算法,于1956年由荷兰计算机科学家艾兹赫尔.戴克斯特拉提出,用于解决赋权有向图的单源最短路径问题。所谓单源最短路径问题是指确定起点,寻找该节点到图中任意节点的最短路径,算法可用于寻找两个城市中的最短路径或是解决著名的旅行商问题。
问题描述:在无向图
中,
为图节点的集合,
为节点之间连线边的集合。假设每条边
的权重为
,找到由顶点
到其余各个节点的最短路径(单源最短路径)。
2. 算法描述
为带权无向图,图中顶点
分为两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用
表示)。初始时
只有源点,当求得一条最短路径时,便将新增顶点添加进
,直到所有顶点加入
中,算法结束。第二组为未确定最短路径顶点集合(用
表示),随着
中顶点增加,
中顶点逐渐减少。
初始化:
只包含起点
,
包含
外的其他顶点。
中的距离为起点
到顶点的距离。若
与
相邻,则
中顶点
距离为
的边缘权重;若
与
不相邻,则
的距离为
;
更新
和
:从
中选出距离值最小的顶点
,并将顶点
添加至
;同时,从
中移除
;
更新
中顶点到起点
的距离:由于
中添加了
,利用
进一步更新
到其他顶点的距离,存在
的可能性;
反复迭代:重复第二步和第三步,直到遍历完所有节点。
3. 算法示例
以下图为例,对Dijkstra算法的工作流程进行演示(以顶点
为起点):
![]()
图1. 有权无向图G
注:
01)
是已计算出最短路径的顶点集合;
02)
是未计算出最短路径的顶点集合;
03)
表示顶点
到顶点
的最短距离为3
第1步:选取顶点
添加进
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图2. 第1步
第2步:选取顶点
添加进
,更新
中顶点最短距离
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图3. 第2步
第3步:选取顶点
添加进
,更新
中顶点最短距离
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图4. 第3步
第4步:选取顶点
添加进
,更新
中顶点最短距离
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图5. 第4步
第5步:选取顶点
添加进
,更新
中顶点最短距离
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图6. 第5步
第6步:选取顶点
添加进
,更新
中顶点最短距离
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图7. 第6步
第7步:选取顶点
添加进
,更新
中顶点最短距离
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图8. 第7步
三、Dijkstra算法的R及Python软件实现
1. R实现Dijkstra算法:igraph包中shortest.paths函数
示例:node编号1-7分别代表A,B,C,D,E,F,G
require(igraph)
graph_matrix
"node x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
1 0 12 NA NA NA 16 14
2 12 0 10 NA NA 7 NA
3 NA 10 0 3 5 6 NA
4 NA NA 3 0 4 NA NA
5 NA NA 5 4 0 2 8
6 16 7 6 NA 2 0 9
7 14 NA NA NA 8 9 0
", header=T))
nms
mat
colnames(mat)
mat[is.na(mat)]
# create graph from adjacency matrix
g
# Get all path distances
(s.paths
(s.paths
(s.paths
1 2 3 4 5 6 7
1 0 12 22 22 18 16 14
2 12 0 10 13 9 7 16
3 22 10 0 3 5 6 13
4 22 13 3 0 4 6 12
5 18 9 5 4 0 2 8
6 16 7 6 6 2 0 9
7 14 16 13 12 8 9 0
(s.paths
1 2 3 4 5 6 7
4 22 13 3 0 4 6 12
2. Python语言实现Dijkstra算法:networkx 模块
示例:
from dijkstar import Graph, find_path
graph=Graph()
graph.add_edge(1,2,{'cost':12})
graph.add_edge(1,6,{'cost':16})
graph.add_edge(1,7,{'cost':14})
graph.add_edge(2,3,{'cost':10})
graph.add_edge(2,6,{'cost':7})
graph.add_edge(2,1,{'cost':12})
graph.add_edge(3,2,{'cost':10})
graph.add_edge(3,4,{'cost':3})
graph.add_edge(3,5,{'cost':5})
graph.add_edge(3,6,{'cost':6})
graph.add_edge(4,3,{'cost':3})
graph.add_edge(4,5,{'cost':4})
graph.add_edge(3,5,{'cost':5})
graph.add_edge(3,6,{'cost':6})
graph.add_edge(4,3,{'cost':3})
graph.add_edge(4,5,{'cost':4})
graph.add_edge(5,3,{'cost':5})
graph.add_edge(5,4,{'cost':4})
graph.add_edge(5,6,{'cost':2})
graph.add_edge(5,7,{'cost':8})
graph.add_edge(6,1,{'cost':16})
graph.add_edge(6,2,{'cost':7})
graph.add_edge(6,3,{'cost':6})
graph.add_edge(6,5,{'cost':2})
graph.add_edge(6,7,{'cost':9})
graph.add_edge(7,1,{'cost':14})
graph.add_edge(7,5,{'cost':8})
graph.add_edge(7,6,{'cost':9})
cost_func = lambda u, v, e, prev_e: e['cost']
find_path(graph, 4, 7, cost_func=cost_func)
找到D(4)到G(7)的最短路径:
PathInfo(nodes=[4, 5, 7], edges=[{'cost': 4}, {'cost': 8}], costs=[4, 8], total_cost=12)
参考资料: