作者 | 韦韦道来 编辑 | 韦心雕AI
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最近的事情比较多，已经将近两个月没有好好维护了。很有幸迎来一位新的常驻小伙伴，贝塔。贝塔也将不定期的推送一些论文笔记。今天来叨叨自动驾驶多传感器融合系列的相机与IMU同步内容。
在自动驾驶中，往往认为IMU所在的位置为车体坐标系的原点（不绝对），所以需要计算相机到IMU之间的时空同步。相机与IMU具有互补性：相机在高速运动、光照改变情况下容易失效，但能够获得丰富的环境信息；而IMU能够获得车辆的运动信息，并且不受周围环境的影响，从而弥补相机的不足。可以通过视觉匹配完成回环检测与回环校正，有效的修正IMU的累计漂移误差，即所谓的相机与IMU的相对位姿。
1）相机与IMU的相对位姿：
相机与IMU之间的相对位姿，就是相机坐标系与IMU坐标系之间的变换，包括相对旋转角和相对平移量。其变换关系满足如下：
其中wc表示相机坐标系，wb表示IMU坐标系，cb表示相对坐标系。将上式展开可以得到相机坐标系与IMU坐标系之间旋转角和平移量的变换关系：
2）相机与IMU的时间同步：
由于触发、传输等延时的存在，相机与IMU采样的时间和时间戳的时间并不匹配，如下图，这会导致相机与IMU之间存在时间差
。
这里时间差的计算为：
即将相机的时间戳平移td后，相机与IMU之间实现了同步。
相机与IMU的时空同步目前有很多开源的框架，如熟知的VINS就是集合了相机与IMU状态估计和标定的系统框架，也是目前个人比较推荐的一个应用框架。首先给出VINS的系统图。
首先进行相机与IMU之间相对旋转角的标定，标定完成之后进行初始化和相机与IMU之间相对平移量的标定。标定和初始化完成后进行视觉惯性联合的状态估计，并且把标定量也当做待估计的状态放入联合优化中。VINS除了可以标定相对姿态，还能够进行时间标定。原理如下：假设在较短时间内相机从
匀速运动到
，特征点在像素平面上的投影也从
匀速运动至
,像素匀速运动的速度为
。如下图：
通过平移像素坐标，将时间差作为优化变量加入投影误差的表达式中，如下式：
此投影误差项与IMU误差项和初始值误差项相加进行联合非线性优化。每一次优化结束后对时间差进行补偿，最终时间差的标定量逐渐趋于0。
当然，为了获取更精确的标定结果，还可以将时间差加入到IMU预积分表达式中，作为优化变量参与联合非线性优化。
关于VINS的其他应用，后续有机会再来介绍，这里再来介绍另外一种方法，即基于basis-functions来估计时间偏移的方法，用于统计相机与IMU之间固定延迟timeoffset的统一框架，然后将离散的数据在时间上连续化，最后基于最大似然估计得出矫正后的结果。并由此衍生的camera-imu的外参标定和时间同步方法。
1）基于basis-functions的时间偏移估计
使用一组基函数加权和来表示随时间变换的状态量，如D维度状态量
可以表示为：
其中，每个
是D维时间函数，
是DxB的矩阵。为了估计
，只需要估计D维向量C即可。
当从测量数据估计时间差时，令误差项如下：
其中，
是
时刻的测量值，
是由状态量
计算测量值的模型，d为待估计的时间差。将前面提到的状态变量代入上式可得：
通过优化误差结果可以得到最优时间差d的结果。为了求解上式的最小二乘问题，需要知道相应的jacobian矩阵
，对于给定的初值
，对应的变化量为
，那么上式可以表示为：
其中:
这样做有两个好处，首先可以将时间差估计问题转换为最大似然估计问题来处理，其次将离散的量变为连续的，可以很容易得到timeoffsets的jacobian矩阵。所以，多传感器之间的估计问题就可以统一了，也就形成了统一的处理框架。
2）camera-imu的时空标定
这里来介绍一下camera-imu的实际应用。收集一到两分钟的数据，时间为
，这里有三个坐标系，分别为：世界坐标系
用于状态估计，imu系下
进行加速度和角速度估计，以及图像坐标系
。假设设备在标签前运动，那么有如下几个估计量：世界坐标系下的重力加速度
，imu到camera的外参
，以及camera与imu时间戳之间的时间偏差d。
这里IMU的位姿是一个6维向量函数，包含转向姿态和平移向量，是随时间变化的状态量。使用B-spline函数来表示状态量，如下：
其中，
表示转向姿态参数，
表示从参数化函数到旋转矩阵的映射。
表示位移，速度和加速度在世界坐标系中的表示如下：
那么角速度可以表示成：
其中
表示旋转向量到旋转角的映射。
将IMU数据与相机数据结合得到如下模型：
其中
和
分别是
时刻的加速度和角速度的测量值，
是世界坐标系下的m个观测点，其对应图像上的像素坐标为
，
是图像时间戳，
是需要估计的时间偏差，
并假设相互独立，
表示相机投影模型。
上述模型中误差项考虑了图像相对IMU数据的时间延迟d，这个时间延迟可正可负，假设IMU零偏满足随机游走，那么模型如下：
并假设彼此独立，即
（由于高斯分布是独立性和不相干性等价，所以可以使用不相关性条件来表示）。
那么对上述的几个变量构建估计模型，根据测量值和估计值之间建立误差项，那么IMU的bias模型给出积分误差项，如下：
最后，使用LM算法(Levenberg-Marquardt)进行最小化下式即可：
这里给出整体的标定流程图：
其整个位姿标定的效果图如下：
写在最后的话：惊奇的发现，公众号居然可以贴公式了。其实关于相机与IMU，最难的还是如何进行时间的同步。这里通过姿态的校正来同步两个传感器，1）通过视觉匹配完成回环检测与回环校正；2）修正IMU的累计漂移误差。
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