高斯滤波_概率机器人-高斯滤波（卡尔曼滤波）

所谓的高斯滤波共享了一个基本思想，那就是置信度用多元正态分布表示。在这里我们再重申一下多元正态分布的定义：

1. 卡尔曼滤波（Kalman Filter:KF）

实现贝叶斯滤波的最好的技术就是卡尔曼滤波（Kalman Filter）。卡尔曼滤波是由Swerling和Kalman作为线性高斯系统中的预测和滤波技术而发明的，用矩来定义。卡尔曼滤波实现了对连续状态的置信度计算。

我们回顾一下贝叶斯滤波，贝叶斯滤波的目标是求解状态变量

1. 预测：根据
   计算
   ，
2. 测量更新：利用测量值
   和
   计算
   ，

卡尔曼滤波则是通过合理的假设是以上的计算更容易实现，通过假设

除了满足贝叶斯分布的马尔可夫假设之外，卡尔曼滤波还需满足以下三个条件：

（1）状态转移概率

必须是带有随机高斯噪声的线性函数，可由下式表示：

其中，

那么状态转移概率 ：

（2）测量概率

其中，

那么测量概率：

（3）初始置信度

这三个假设保证了

卡尔曼滤波的算法表示如下：

算法第2、3行计算预测的置信度，4、5、6行为测量更新，其中第4行的变量矩阵

由于篇幅原因，这里我们就不进行卡尔曼滤波的数学推导了，如果真的有人看这篇文章然后强烈想看推导的话可以留言，我专门写一篇来证明，不过思路比较清晰，很容易就可以推导出来了。

我们来看一个例子：

a）实线为初始置信度

b）实线为存在不确定性的测量值

c）实线为应用过卡尔曼滤波后的置信度

d）实线为运动后存在不确定性的估计量，即控制系统得到的状态量

e）实线为存在不确定性的测量值

f）实线为应用过卡尔曼滤波之后的置信度

2. 扩展卡尔曼滤波（Extended kalman Filter:EKF）

尽管卡尔曼滤波效率很高，可是他也有局限性，就是他仅适用于线性高斯系统假设，然而实际情况下很多机器人系统不是线性系统，卡尔曼滤波并不适用。于是扩展卡尔曼滤（Extended kalman Filter:EKF）便发展出来。

EKF是KF在非线性情况下的推广，具体来说就是我们放宽了对于状态转移概率和测量概率的假设，我们假设状态转移概率和测量概率分别由非线性函数

但是直接食用非线性函数在数学推导中会存在问题，所以为了方便推导，我们利用一阶泰勒展开来将非线性函数线性化：

其中，

那么EKF的算法可以表示如下：

我们可以看到，基本思路和KF是一致的，区别在于：

1. 我们在计算
   和
   的时候直接用了非线性函数
   和
   来计算；
2. 在其余部分将
   和
   分别用
   和
   来替换。

3. 无痕迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filter：UKF）

无痕迹卡尔曼滤波是另一种线性化方法，他通过使用加权统计线性回归过程实线随机线性化。

UKF明确地从高斯中提取

每个

剩下的思路也和KF、EKF相类似，就不赘述了。