在监督学习中，已知样本 $(x_1, y_1),(x_2, y_2),...,(x_n, y_n)$，要求拟合出一个模型（函数）$\hat{f}$，其预测值$\hat{f}(x)$与样本实际值$y$的误差最小。
考虑到样本数据其实是采样，$y$并不是真实值本身，假设真实模型（函数）是$f$，则采样值$y=f(x)+\varepsilon$，其中$\varepsilon$代表噪音，其均值为0，方差为$\sigma^2$。
拟合函数$\hat{f}$的主要目的是希望它能对新的样本进行预测，所以，拟合出函数$\hat{f}$后，需要在测试集（训练时未见过的数据）上检测其预测值与实际值$y$之间的误差。可以采用平方误差函数（mean squared error）来度量其拟合的好坏程度，即 $(y-\hat{f}(x))^2$
经过进一步的研究发现，对于某种特定的模型（下面还会进一步说明“特定模型”的含义），其误差的期望值可以分解为三个部分：样本噪音、模型预测值的方差、预测值相对真实值的偏差
公式为：
$$E((y-\hat{f}(x))^2) = \sigma^2 + Var[\hat{f}(x)] + (Bias[\hat{f}(x)])^2$$
其中 $Bias[\hat{f}(x)] = E[\hat{f}(x) - f(x)]$
即：误差的期望值 = 噪音的方差 + 模型预测值的方差 + 预测值相对真实值的偏差的平方
先看一个图比较直观。
使用特定模型对一个测试样本进行预测，就像打靶一样。
靶心（红点）是测试样本的真实值，测试样本的y（橙色点）是真实值加上噪音，特定模型重复多次训练会得到多个具体的模型，每一个具体模型对测试样本进行一次预测，就在靶上打出一个预测值（图上蓝色的点）。所有预测值的平均就是预测值的期望（较大的浅蓝色点），浅蓝色的圆圈表示预测值的离散程度，即预测值的方差。
所以，特定模型的预测值 与 真实值 的误差的 期望值，分解为上面公式中的三个部分，对应到图上的三条橙色线段：预测值的偏差、预测值的方差、样本噪音。
回顾一下，期望值的含义是指在同样的条件下重复多次随机试验，得到的所有可能状态的平均结果（更详细的定义参考维基百科-期望值）。对于机器学习来说，这种实验就是我们选择一种算法（并选定超参数），以及设置一个固定的训练集大小，这就是同样的条件，也就是上文所说的特定的模型。然后每次训练时从样本空间中选择一批样本作为训练集，但每次都随机抽取不同的样本，这样重复进行多次训练。每次训练会得到一个具体的模型，每个具体模型对同一个未见过的样本进行预测可以得到预测值。不断重复训练和预测，就能得到一系列预测值，根据样本和这些预测值计算出方差和偏差，就可以帮助我们考察该特定模型的预测误差的期望值，也就能衡量该特定模型的性能。对比多个特定模型的误差的期望值，可以帮助我们选择合适的模型。
再看一个更接近实际的例子，来自 Bias-Variance in Machine Learning
我们设置真实模型 $f(x) = x + 2sin(1.5x)$，函数图像如下图曲线所示。
样本值 y 就在真实值的基础上叠加一个随机噪音 N(0, 0.2)。
现在我们用线性函数来构建模型，训练样本来自随机采集的一组 y，经过多次重复，可以得到一系列具体的线性模型，如下图中那一组聚集在一起的黑色直线所示，其中间有一条红色线是这一组线性函数的平均（期望值）。这就是特定模型（线性函数）在同样条件下（每次取20个样本点）重复多次（得到50个线性函数）。
根据生成的50个具体的线性函数来考察该线性模型的预测性能，选取一个样本点，比如选择 x=5 时（下图中红色竖线位置），真实值 f(x) = 6.876，样本 $y \approx 6.876$，y 与 f(x) 的偏差体现在图片右下方的噪音（noise） 部分。红色线性函数在 x=5 位置的值是这50个线性函数在该位置的期望值，黑色直线在 x=5 位置的一系列值的分布则反映了它们的方差（Variance）。50个预测的期望值与真实值 f(x) 之间的距离体现了偏差（Bias）。（参考下图右下部分的 variance 和 bias）。
总之，在机器学习中考察 偏差 和 方差，最重要的是要在不同数据集上训练出一组特定模型，这些模型对一个测试样本进行预测，考察这一组预测值的方差和偏差。
误差的期望值公式为什么可以分解为 噪音、偏差和方差，可以从数学上推导得来。先准备几个推导中需要用到的公式，为了方便，我们简化符号，记作
$$f = f(x) \
hat{f} = hat{f}(x)$$
$$Var[X] = E[X^2] - (E[X])^2$$
即 随机变量X的方差 = X平方的期望 - X期望的平方（参考 维基百科-方差），移项后得到
$$E[X^2] = Var[X] + (E[X])^2 \qquad(1)$$
因为真实值$f$是一个确定的值，所以
$$E[f] = f$$
另外根据上文测试样本值和噪音的定义
$$y=f+varepsilon \
E[varepsilon]=0 \
Var[varepsilon] = sigma^2$$
所以$E[y] = E[f+\varepsilon] = E[f] = f$，即
$$E[y] = f \qquad(2)$$
$$ Var[y] = E[(y - E[y])^2] = E[(y-f)^2] \\ = E[(f+\varepsilon-f)^2] = E[\varepsilon^2] \\ = Var[\varepsilon] + (E[\varepsilon])^2 = \sigma^2 $$
即
$$Var[y] = \sigma^2 \qquad(3)$$
因为 $\varepsilon$ 与 $\hat{f}$ 不相关，所以
$$E[\varepsilon\hat{f}] = E[\varepsilon]E[\hat{f}] \qquad(4) $$
（参考维基百科-期望值)
公式推导如下
$$ E[(y-\hat{f})^2] = E[y^2 + \hat{f}^2 - 2y\hat{f}] \\ = E[y^2] + E[\hat{f}^2] - E[2y\hat{f}] \\ = \Big(Var[y] + (E[y]))^2 \Big) + \Big(Var[\hat{f}] + (E[\hat{f}])^2 \Big) - E[2(f+\varepsilon) \hat{f}] \\ = Var[y] + Var[\hat{f}] + (E[y])^2 + (E[\hat{f}])^2 - E[2f\hat{f} +2\varepsilon \hat{f}] \\ = Var[y] + Var[\hat{f}] + f^2 + (E[\hat{f}])^2 - E[2f\hat{f}] -E[2\varepsilon \hat{f}] \\ = Var[y] + Var[\hat{f}] + f^2 + (E[\hat{f}])^2 - 2fE[\hat{f}] -2E[\varepsilon]E[\hat{f}] \\ = Var[y] + Var[\hat{f}] + \Big(f^2 + (E[\hat{f}])^2 - 2fE[\hat{f}] \Big) \\ = Var[y] + Var[\hat{f}] + (f - E[\hat{f}])^2 \\ = \sigma^2 + Var[\hat{f}] + (Bias[\hat{f}])^2 $$
最后得到的三个项分别是：噪音的方差、模型预测值的方差、预测值相对真实值的偏差的平方。
理想中，我们希望得到一个偏差和方差都很小的模型（下图左上），但实际上往往很困难。
选择相对较好的模型的顺序：方差小，偏差小 > 方差小，偏差大 > 方差大，偏差小 > 方差大，偏差大。
方差小，偏差大 之所以在实际中排位相对靠前，是因为它比较稳定。很多时候实际中无法获得非常全面的数据集，那么，如果一个模型在可获得的样本上有较小的方差，说明它对不同数据集的敏感度不高，可以期望它对新数据集的预测效果比较稳定。
很多时候，机器学习所面临的问题，我们事先并不确切的知道要拟合的是一个怎样形式的函数，是几次多项式，是几层神经网络，选择样本的哪些特征，等等，都缺乏先验的知识来帮助我们选择。我们在一个基本上无穷大的假设（模型）集合中，凭借有限的经验进行尝试和选择。
机器学习有多种算法，以及每种算法中经常又可以选择不同的结构和超参数。它们所覆盖的假设集合有不同的大小。所以，选择一种算法（包括其结构和超参数），就是选择（限定）了一个假设集合。我们期望真实模型存在于我们所选定的假设集合范围内，并且该假设集合越小越好。
下面两幅图粗略表现了不同假设集合的关系
我们思考一下监督学习的整个流程，其实就是一个不断缩小假设集合的过程。从大的方面看可以分为两个步骤。
上面第一个步骤中，我们可以选择一些不同的假设集合，然后通过考察它们的偏差方差，对各假设集合的性能进行评估。比如多项式的次数，上图假设真实模型是一个二次多项式，那么线性函数集合中的模型会欠拟合（方差低，偏差太高），高次多项式集合中的模型容易过拟合（方差太高，偏差低），二项式集合中的模型能够有较好的折中（方差和偏差都相对较低），总体误差最小。
下面几个案例来自 Andrew Ng 的公开课《Machine Learning》。
多项式回归模型，我们可以选择不同的多项式的次数，对模型的影响如下。
| 多项式次数 | 模型复杂度 | 方差 | 偏差 | 过/欠拟合 |
|---|---|---|---|---|
| 低 | 低 | 低 | 高 | 欠拟合 |
| 中 | 中 | 中 | 中 | 适度 |
| 高 | 高 | 高 | 低 | 过拟合 |
| 多项式次数 | 模型复杂度 | 训练误差 | 测试误差 |
|---|---|---|---|
| 低 | 低 | 高 | 高 |
| 中 | 中 | 中 | 低 |
| 高 | 高 | 低 | 高 |
添加正则化项（Regularization）相当于对模型参数施加惩罚，压缩了参数的范围，限制了模型的复杂度，从而有助于缓解模型过拟合问题，选择不同的 正则化项权重λ 对模型的影响如下。
| 正则化项权重λ | 模型复杂度 | 方差 | 偏差 | 过/欠拟合 |
|---|---|---|---|---|
| 大 | 低 | 低 | 高 | 欠拟合 |
| 中 | 中 | 中 | 中 | 适度 |
| 小 | 高 | 高 | 低 | 过拟合 |
| 正则化项权重λ | 模型复杂度 | 训练误差 | 测试误差 |
|---|---|---|---|
| 大 | 低 | 高 | 高 |
| 中 | 中 | 中 | 低 |
| 小 | 高 | 低 | 高 |
一般来说，我们希望样本数量越多越好。随着样本数量增加，训练误差会逐渐增长，测试误差会逐渐降低。
| 神经网络结构 | 模型复杂度 | 方差 | 偏差 | 过/欠拟合 |
|---|---|---|---|---|
| 小 | 低 | 低 | 高 | 欠拟合 |
| 中 | 中 | 中 | 中 | 适度 |
| 大 | 高 | 高 | 低 | 过拟合 |
计算偏差、方差可以帮助评估不同的假设集合，不过它需要较多的样本，以及重复多次拟合模型，需要比较多的数据和计算资源（参考上面图3）。
实际中，比较常用的方法是K-Fold交叉验证。它与标准的偏差、方差计算过程不太一样。简单的说，就是将训练样本分成k份，每次取其中一份作为验证集，另外 k-1 份作训练集。这样进行 k 次训练得到 k 个模型。这 k 个模型对各自的验证集进行预测，得到 k 个评估值（可以是误差、准确率，或按某种规则计算的得分等等）。注意到每个样本参与了 k-1 个模型的训练（导致模型之间存在关联），每个样本有一次被用作测试（没有用另外的从未见过的测试集数据），所以这与标准的计算过程是不一样的。
不过，K-Fold依然是很有价值的模型性能评估。可以直接针对这 k 个模型的评估值（误差、准确率，或按某种规则计算的得分等等）进行分析，取其平均可以体现该模型的预测准确性。对这 k 个值，比如k个误差值，计算方差，可以反应该模型的预测误差的离散程度，即后续用于未见过的样本数据时，模型的预测准确性是否稳定。
维基百科 - Bias–variance tradeoff
Bias-Variance in Machine Learning
维基百科 - 方差
维基百科 - 期望值
《Pattern Recognition and Machine Learning》之 3.2. The Bias-Variance Decomposition
