之前在《Logit究竟是个啥？——离散选择模型之三》一文中提过，Logit应该理解成Log-it，这里的it指的是Odds(“胜率”，等于P/1-P)。一个Logit变换就是从概率P到的过程，如下图所示：
当我们讨论Logit的模型时候，指的是下面这种形式：
注意，等号的右边是自变量的线性组合。
我记得以前在学《数学建模》的时候，有一个人口增长模型：(1)如果没有资源限制的话，人口随时间的变化率
和总人口的数量(
)呈线性关系(人口越多，繁殖的越快)——这就是指数增长模型(Exponential Growth，见下图左侧)。(2)实际情况下，由于受到环境、资源等各方面的限制，人口变化曲线一般呈S-型——起初人口数量较少的时候增长率较低，然后随着时间的推移逐渐增加；当达到资源限制的瓶颈(K)的时候，增长率又下降至零——我们把这种非线性的S-型增长模型称之为 Logistic Growth，如下图右侧所示。
求解上图右侧(Logistic Growth)对应的微分方程
。令
可得：
结合初始条件
时
，可以得到微分方程的解为：
由于人口数量N总是小于阈值K(在
时刻的人口数量
小于K)，所以
，故而
是一个大于0的数。我们总能找到一个常数
使得
成立。这样上式就可以简化为：
更进一步：用
替换
、
替换
，然后再把自变量换成
，可以得到一个看起来更加舒服的式子：
(2)式即为Logistic函数。有没有觉得这个式子很眼熟？
对于(1)式的Logit模型，只考虑一个自变量时：
两边同时做指数运算(求e次方)：
然后整理可得：
(2)、(3)不是一样的么？
所以，Logit 模型和Logistic模型是一回事。
当我们说Logit模型的时候，一般指的就是这个式子：
当我们说Logistic模型的时候，一般指的是这个式子：
小结一下：
(1)Logit模型的左侧是Odds的对数，而Logistic模型的左侧是概率。
(2)Logit模型的右侧是一个线性结构，而Logistic模型的右侧是非线性的。
(3)二者可以相互转化。
题外话：Logit模型是基于效用理论(可以参见上一篇文章：效用最大化准则：离散选择模型的核心(Probit篇)——离散选择模型之七)推导出来的，而Logistic函数可以通过求解微分方程得到。两者最后竟然异曲同工——不得不承认数学的神奇！
【本篇完】
关注【DCM笔记】公众号，私信作者获取相关专栏文章中的 练习数据 和 代码：
