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图解统计学 10 | 贝叶斯公式与全概率公式

2023-05-16

文章目录

  • 概率
  • 联合概率
  • 条件概率
  • 全概率公式
  • 贝叶斯公式

过年了，作为水果店老板的我们，一共进了三种水果，其中：

西瓜：50个

香蕉：30个

橙子：20个

为了方便顾客挑选，放在如下的格子里，每个格子放一个水果，总共 100 个

img

概率

现在有一人前来买水果，那么可以算出他买某种水果的概率：

西瓜： P ( A 1 ) = 50 / 100 = 0.5 P(A_1) = 50/100 = 0.5 P(A1​)=50/100=0.5

香蕉： P ( A 2 ) = 30 / 100 = 0.3 P(A_2) = 30/100 = 0.3 P(A2​)=30/100=0.3

橙子： P ( A 3 ) = 20 / 100 = 0.2 P(A_3) = 20/100 = 0.2 P(A3​)=20/100=0.2

我们统计下买某种水果的概率，并记录为表1

img

联合概率

img

水果质量乘次不齐，会有少量的坏果，顾客一般从外观难以分辨。

但是作为经验老道的老板，大概知道有几个坏果，用较深的颜色统计每种水果中的坏果，从图中可以看到：

西瓜里有 10 个坏果

香蕉里有 3 个坏果

橙子里有 4 个坏果

那么顾客既选西瓜又选到坏果的概率是

西瓜： P ( A 1 , B ) = 10 / 100 = 0.1 P(A_1,B) = 10/100 = 0.1 P(A1​,B)=10/100=0.1

这里，顾客既选西瓜A_1又选到坏果B的概率用P(x_1,y)表示，逗号用来表示两件事同时发生。

其他的类似：

香蕉： P ( A 2 , B ) = 3 / 100 = 0.03 P(A_2,B) = 3/100 = 0.03 P(A2​,B)=3/100=0.03

橙子： P ( A 3 , B ) = 4 / 100 = 0.04 P(A_3,B) = 4/100 = 0.04 P(A3​,B)=4/100=0.04

我们统计下顾客挑选某种水果且有坏果的概率表，记录为表2

img

条件概率

与之前不同，顾客现在就想买颗西瓜，他选到坏果的概率是多少？

西瓜： P ( B ∣ A 1 ) = 10 / 50 = 0.2 P(B|A_1) = 10/50 = 0.2 P(B∣A1​)=10/50=0.2

这里，顾客从西瓜里选到坏果的概率用 P ( B ∣ A 1 ) P(B|A_1) P(B∣A1​) 表示，

其中 |表示在 A_1发生的前提下又发生B的概率。

其他水果：

香蕉： P ( B ∣ A 2 ) = 3 / 30 = 0.1 P(B|A_2) = 3/30 = 0.1 P(B∣A2​)=3/30=0.1

橙子： P ( B ∣ A 3 ) = 4 / 20 = 0.2 P(B|A_3) = 4/20 = 0.2 P(B∣A3​)=4/20=0.2

我们统计下顾客从某种水果挑选到坏果的概率表，记录为表3

img

现在我们把以上三张表整理成一张表

img

我们会惊奇的发现一个规律：

西瓜： P ( A 1 , B ) = P ( A 1 ) P ( B ∣ A 1 ) = 0.5 × 0.2 = 0.1 P(A_1,B)=P(A_1)P(B|A_1)=0.5 \times 0.2 = 0.1 P(A1​,B)=P(A1​)P(B∣A1​)=0.5×0.2=0.1

香蕉： P ( A 2 , B ) = P ( A 2 ) P ( B ∣ A 2 ) = 0.3 × 0.1 = 0.03 P(A_2,B)=P(A_2)P(B|A_2)=0.3 \times 0.1 = 0.03 P(A2​,B)=P(A2​)P(B∣A2​)=0.3×0.1=0.03

橙子： P ( A 3 , B ) = P ( A 3 ) P ( B ∣ A 3 ) = 0.2 × 0.5 = 0.04 P(A_3,B)=P(A_3)P(B|A_3)=0.2 \times 0.5 = 0.04 P(A3​,B)=P(A3​)P(B∣A3​)=0.2×0.5=0.04

恭喜你，已经发现了联合概率公式：

P ( A i , B ) = P ( A i ) P ( B ∣ A i ) P(A_i,B)=P(A_i)P(B|A_i) P(Ai​,B)=P(Ai​)P(B∣Ai​)

利用幼儿园的乘除法，可以转化为：

P ( B ∣ A i ) = P ( A i , B ) P ( A i ) P(B|A_i)=\frac{P(A_i,B)}{P(A_i)} P(B∣Ai​)=P(Ai​)P(Ai​,B)​

这就是所谓的条件概率公式。

条件概率也可以用集合图表示，其实就是用 P ( A i , B ) P(A_i,B) P(Ai​,B) 联合概率(交集) 除以 P ( A i ) P(A_i) P(Ai​)

img

全概率公式

img

现在统计下顾客选到坏果的概率为：

P ( B ) = ( 10 + 3 + 4 ) / 100 = 0.17 P(B)=(10+3+4)/100=0.17 P(B)=(10+3+4)/100=0.17

再拿过来刚刚的统计表

img

我们现在发现又一条规律：

P ( B ) = P ( A 1 , B ) + P ( A 2 , B ) + P ( A 3 , B ) = 0.1 + 0.03 + 0.04 = 0.17 P(B)=P(A_1,B)+P(A_2,B)+P(A_3,B)=0.1+0.03+0.04=0.17 P(B)=P(A1​,B)+P(A2​,B)+P(A3​,B)=0.1+0.03+0.04=0.17

在现实生活中，我们并不能直接得到 P ( A i , B ) P(A_i,B) P(Ai​,B) 的值，或者获取难度太大。

一般只能获得某个事件发生的概率 P ( A i ) P(A_i) P(Ai​) 或在 A 事件发生后 B 事件发生的条件概率 P ( B ∣ A i ) P(B|A_i) P(B∣Ai​) ,

因此，代入刚刚推导出的联合概率公式，

也就是使用 P ( A i ) P ( B ∣ A i ) P(A_i)P(B|A_i) P(Ai​)P(B∣Ai​) 来指代 P ( A i , B ) P(A_i,B) P(Ai​,B) ，得到：

P ( B ) = P ( A 1 ) P ( B ∣ A 1 ) + P ( A 2 ) P ( B ∣ A 2 ) + P ( A 3 ) P ( B ∣ A 3 ) = 0.5 × 0.2 + 0.3 × 0.1 + 0.2 × 0.2 = 0.17 P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+P(A_3)P(B|A_3)\\=0.5\times0.2+0.3\times0.1+0.2\times0.2=0.17 P(B)=P(A1​)P(B∣A1​)+P(A2​)P(B∣A2​)+P(A3​)P(B∣A3​)=0.5×0.2+0.3×0.1+0.2×0.2=0.17

以上就是所谓的全概率公式。

我们一般见到的数学表示形式如下：

P ( B ) = P ( A 1 ) P ( B ∣ A 1 ) + P ( A 2 ) P ( B ∣ A 2 ) + . . . + P ( A n ) P ( B ∣ A n ) = ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i ) P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2)+...+P(A_n)P(B|A_n) = \sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i) P(B)=P(A1​)P(B∣A1​)+P(A2​)P(B∣A2​)+...+P(An​)P(B∣An​)=∑i=1n​P(Ai​)P(B∣Ai​)

贝叶斯公式

现在，坏果作为促销商品，那么顾客想从坏果中选到西瓜的概率是多少，也就是计算 P ( A 1 ∣ B ) P(A_1|B) P(A1​∣B)

**注意：**这里需要区分 P ( A 1 ∣ B ) P(A_1|B) P(A1​∣B) 和 P ( B ∣ A 1 ) P(B|A_1) P(B∣A1​) 二者的区别

P ( B ∣ A 1 ) P(B|A_1) P(B∣A1​) 指的是选西瓜这件事已经确定的情况下，从中选坏果的概率，用图表示

img

P ( A 1 ∣ B ) P(A_1|B) P(A1​∣B) 指的是在坏果已经确定的情况下，从中选西瓜的概率，用图表示

img

根据上图，很容易得到坏果总共有 17 个，其中 10 个西瓜：

P ( A 1 ∣ B ) = 10 17 P(A_1|B)=\frac{10}{17} P(A1​∣B)=1710​

用符号代替：

P ( A 1 ∣ B ) = P ( A 1 , B ) P ( B ) = P ( A 1 ) P ( B ∣ A 1 ) P ( B ) P(A_1|B)=\frac{P(A_1,B)}{P(B)}=\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)} P(A1​∣B)=P(B)P(A1​,B)​=P(B)P(A1​)P(B∣A1​)​

根据联合概率公式：

关于为什么要使用联合概率公式转换，参考上一小节

P ( A 1 ∣ B ) = P ( A , B ) P ( B ) = P ( A 1 ) P ( B ∣ A 1 ) P ( B ) P(A_1|B)=\frac{P(A,B)}{P(B)}=\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)} P(A1​∣B)=P(B)P(A,B)​=P(B)P(A1​)P(B∣A1​)​

根据全概率公式：

P ( A 1 ∣ B ) = P ( A 1 ) P ( B ∣ A 1 ) P ( B ) = P ( A 1 ) P ( B ∣ A 1 ) P ( A 1 ) P ( B ∣ A 1 ) + P ( A 2 ) P ( B ∣ A 2 ) + P ( A 3 ) P ( B ∣ A 3 ) P(A_1|B)=\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)}=\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+P(A_3)P(B|A_3)} P(A1​∣B)=P(B)P(A1​)P(B∣A1​)​=P(A1​)P(B∣A1​)+P(A2​)P(B∣A2​)+P(A3​)P(B∣A3​)P(A1​)P(B∣A1​)​

这个就是所谓的贝叶斯公式。

代入值

img

P ( A 1 ∣ B ) = 0.5 × 0.2 0.3 × 0.1 + 0.5 × 0.2 + 0.2 × 0.2 = 1 0.17 = 10 17 P(A_1|B)=\frac{0.5\times0.2}{0.3\times0.1+0.5\times0.2+0.2\times0.2} = \frac{1}{0.17} = \frac{10}{17} P(A1​∣B)=0.3×0.1+0.5×0.2+0.2×0.20.5×0.2​=0.171​=1710​

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