漫步数学分析三十五——乘法法则与梯度

微分中另一个有名的法则是乘法法则或莱布尼兹法则。

定理6 $\textbf{定理6}$ 令 A⊂Rn $A\subset R^n$是开集， f:A→Rm,g:A→R $f:A\to R^m,g:A\to R$是可微函数，那么 gf $gf$是可微的并且对于 x∈A,D(gf)(x):Rn→Rm $x\in A,D(gf)(x):R^n\to R^m$为 D(gf)(x)⋅e=g(x)(Df(x)⋅e)+(Dg(x)⋅e)f(x) $D(gf)(x)\cdot e=g(x)(Df(x)\cdot e)+(Dg(x)\cdot e)f(x)$，对所有的 e∈Rn $e\in R^n$均如此。(注意因为 g(x)∈R,Dg(x)⋅e∈R $g(x)\in R,Dg(x)\cdot e\in R$，所以这是可行的)

有时我们将上面的结果缩写成

$$D(gf)=gDf+(Dg)f$$

但是准确的含义与定理描述的一致。

大家对基本微积分中的乘法法则应该非常熟悉，用元素的角度看待，定理简化为

$$\frac{\partial}{\partial x_i}(gf_k)=g\left(\frac{\partial f_k}{\partial x_i}\right)+\left(\frac{\partial g}{\partial x_i}\right)f_k$$

对于除法而言，我们有相同的结果。如果 g≠0 $g\neq 0$，那么

$$D\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{(g\cdot Df-f\cdot Dg)}{g^2}$$

为了证明这个公式，我们可以将定理6中的 g $g$换成1/g$1/g$，这里证明从略。

其他的微分法则围绕着 D $D$是线性展开；即D(f+g)=Df+Df,D(λf)=λDf$D(f+g)=Df+Df,D(\lambda f)=\lambda Df$，其中 λ∈R $\lambda\in R$是一个常数。

现在我们考虑一下梯度的几何意义，令 f:A⊂Rn→R $f:A\subset R^n\to R$是可微的，那么我们得到梯度

$$\text{grad}\ f(x)=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)$$

从而在 h $h$方向上的方向导数是

$$\begin{align*} Df(x)\cdot h &=\langle\text{grad}\ f(x),h\rangle\\ &=f\text{在点}x\text{处}h\text{方向上的变化率} \end{align*}$$

现在考虑定义为 f(x)= $f(x)=$常数的面 S $S$，我们断言grad f(x)$\text{grad}\ f(x)$与这个面正交(orthogonal)(这是直观上的理解，因为我们对面还没有给出准确的定义——之后会详细介绍)，为了证明这个，考虑 S $S$中切向量为c′(0)$c^\prime(0)$的曲线 c(t) $c(t)$，其中 c(0)=x0 $c(0)=x_0$，我们断言

$$\langle\text{grad}\ f(x_0,c^\prime(0))\rangle=0$$

接下里因为 c(t)∈S,f(c(t))= $c(t)\in S,f(c(t))=$常数。求微分并利用链式法则可得

$$Df(c(t)\cdot c^\prime(t))=0$$

令 t=0 $t=0$并利用 Df(x)⋅h=⟨grad f(x),h⟩ $Df(x)\cdot h=\langle\text{grad}\ f(x),h\rangle$可得出我们所要的结果，如图 ??? $\ref{fig:6-9}$所示。

图1

注意我们可以将 S $S$的切平面描述为：在x0$x_0$处，因为 ⟨grad f(x0),x−x0⟩=0 $\langle\text{grad}\ f(x_0),x-x_0\rangle=0$，(这是由于 grad f(x0) $\text{grad}\ f(x_0)$与 S $S$正交)所以f(x)=$f(x)=$常数。

从等式

$$\langle\text{grad}\ f(x_0),h\rangle=\Vert\text{grad}\ f(x_0)\Vert\cos\theta$$

(其中 ∥h∥=1,θ $\Vert h\Vert=1,\theta$是 grad f(x0) $\text{grad}\ f(x_0)$与 h $h$的角度) 中可以很明显的看出grad f(x0)$\text{grad}\ f(x_0)$ 是 f $f$ 变化最快的方向。如果我们将f$f$看成山丘的高度函数，那么 f= $f=$常数就是水平轮廓，为了尽快上坡或下坡，我们应该沿着垂直于水平轮廓的方向走。(如图2)

这些事实就是实际优化控制问题中的值，在这些问题中给定一个函数 f(x1,…,xn) $f(x_1,\ldots,x_n)$，问题就是最大化或最优化 f $f$。 常用的方法是取一个点x0$x_0$然后沿着 f $f$的梯度方向进行到一个使得f$f$更大的点然后不断重复。

例1： $\textbf{例1：}$找出 x2+y2+z2=3 $x^2+y^2+z^2=3$在 (1,1,1) $(1,1,1)$处的法向量

解： $\textbf{解：}$这里 f(x,y,z)=x2+y2+z2 $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$在 (1,1,1) $(1,1,1)$的梯度 grad f=(2x,2y,2z) $\text{grad}\ f=(2x,2y,2z)$是 (2,2,2) $(2,2,2)$，归一化得到单位法向量是 (1/3√,1/3√,1/3√) $(1/\sqrt3,1/\sqrt3,1/\sqrt3)$。

例2： $\textbf{例2：}$找出 f(x,y,z)=x2ysinz $f(x,y,z)=x^2y\sin z$在 (3,2,0) $(3,2,0)$处增长速度最快的方向。

例3： $\textbf{例3：}$求 x2−y2+xz=2 $x^2-y^2+xz=2$在 (1,0,1) $(1,0,1)$处的切平面。

解： $\textbf{解：}$这里 grad f(1,0,1)=(3,0,1) $\text{grad}\ f(1,0,1)=(3,0,1)$，所以切平面是 ⟨(x−1,y,z−1),(3,0,1)⟩=0 $\langle(x-1,y,z-1),(3,0,1)\rangle=0$即 3x+z=4 $3x+z=4$。

图2