梅森公式确定系统的传递函数

梅森增益公式：

对于一些比较复杂的系统，采用结构图等效简化的方法求系统的传递函数是比较麻烦的。而使用梅森公式，则可以不用做任何变换，只要通过对信号流图进行相应的分析就能直接写出系统的传递函数。

下面不加证明地直接给出梅森公式的定义：

计算任意输入节点到输出节点的传递函数的梅森增益公式为：

P = 1 Δ ∑ k = 1 n P k Δ k P=\frac{1}{\Delta} \sum_{k=1}^{n} P_{k} \Delta_{k} P=Δ1​k=1∑n​Pk​Δk​

其中 Δ \Delta Δ为系统的特征多项式，其计算公式为：

Δ = 1 − ∑ L a + ∑ L b L c − ∑ L d L e L f + ⋯ \Delta=1-\sum L_{a}+\sum L_{b} L_{c}-\sum L_{d} L_{e} L_{f}+\cdots Δ=1−∑La​+∑Lb​Lc​−∑Ld​Le​Lf​+⋯

其中 ∑ L a \sum L_{a} ∑La​为所有不同回路增益之和； ∑ L b L c \sum L_{b} L_{c} ∑Lb​Lc​为所有两两不接触回路增益之和； ∑ L d L e L f \sum L_{d} L_{e} L_{f} ∑Ld​Le​Lf​为所有互不接触的回路中，每次取其中三个回路的增益乘积之和；后面的以此类推。 n n n为从输入节点到输出节点的前向通路条数； P k P_{k} Pk​为从输入节点到输出节点的第 k k k条前向通路的总增益； Δ k \Delta_{k} Δk​为第 k k k条前向通路的余子式，即把特征式 Δ \Delta Δ中与该前向通道相接触的回路增益置零后剩余的部分。

举个栗子：

求下面系统的传递函数：

先找出所有的闭环回路：

L 1 = − G 1 G 2 G 3 G 4 H 2 L_{1}=-G_{1} G_{2} G_{3} G_{4} H_{2} L1​=−G1​G2​G3​G4​H2​

L 2 = − G 1 G 6 H 2 L_{2}=-G_{1} G_{6} H_{2} L2​=−G1​G6​H2​

L 3 = − G 3 H 1 L_{3}=-G_{3} H_{1} L3​=−G3​H1​

再找出两两不相邻回路：

L 1 L_{1} L1​和 L 2 L_{2} L2​

无三个以上互不接触回路，则系统的特征式可以写为：

Δ = 1 − ( L 1 + L 2 + L 3 ) + ( L 2 L 3 ) = 1 + G 1 G 2 G 3 G 4 H 2 + G 1 G 6 H 2 + G 3 H 1 + G 1 G 3 G 6 H 1 H 2 \begin{aligned} \Delta=& 1-\left(L_{1}+L_{2}+L_{3}\right)+\left(L_{2} L_{3}\right)=\\ & 1+G_{1} G_{2} G_{3} G_{4} H_{2}+G_{1} G_{6} H_{2}+G_{3} H_{1}+G_{1} G_{3} G_{6} H_{1} H_{2} \end{aligned} Δ=​1−(L1​+L2​+L3​)+(L2​L3​)=1+G1​G2​G3​G4​H2​+G1​G6​H2​+G3​H1​+G1​G3​G6​H1​H2​​

接着找出系统的前向通路：

P 1 = G 1 G 2 G 3 G 4 P_{1}=G_{1} G_{2} G_{3} G_{4} P1​=G1​G2​G3​G4​

P 2 = G 5 G 3 G 4 P_{2}=G_{5} G_{3} G_{4} P2​=G5​G3​G4​

P 3 = G 1 G 6 P_{3}=G_{1} G_{6} P3​=G1​G6​

由于各回路均与前向通路 P 1 P_1 P1​、 P 2 P_2 P2​接触，故其余子式 Δ 1 = Δ 2 = 1 \Delta_{1}=\Delta_{2}=1 Δ1​=Δ2​=1。前向通路 P 3 P_3 P3​不与 L 3 L_3 L3​接触，故余子式为：

Δ 3 = 1 − ( L 3 ) = 1 + G 3 H 1 \Delta_{3}=1-\left(L_{3}\right)=1+G_{3} H_{1} Δ3​=1−(L3​)=1+G3​H1​

那么可以使用梅森公式得到系统的传递函数为：

C ( s ) R ( s ) = 1 Δ ( P 1 Δ 1 + P 2 Δ 2 + P 3 Δ 3 ) = G 1 G 2 G 3 G 4 + G 3 G 4 G 5 + G 1 G 6 ( 1 + G 3 H 1 ) 1 + G 1 G 2 G 3 G 4 H 2 + G 1 G 6 H 2 + G 3 H 1 + G 1 G 3 G 6 H 1 H 2 \begin{aligned} \frac{C(s)}{R(s)}=& \frac{1}{\Delta}\left(P_{1} \Delta_{1}+P_{2} \Delta_{2}+P_{3} \Delta_{3}\right)=\\ & \frac{G_{1} G_{2} G_{3} G_{4}+G_{3} G_{4} G_{5}+G_{1} G_{6}\left(1+G_{3} H_{1}\right)}{1+G_{1} G_{2} G_{3} G_{4} H_{2}+G_{1} G_{6} H_{2}+G_{3} H_{1}+G_{1} G_{3} G_{6} H_{1} H_{2}} \end{aligned} R(s)C(s)​=​Δ1​(P1​Δ1​+P2​Δ2​+P3​Δ3​)=1+G1​G2​G3​G4​H2​+G1​G6​H2​+G3​H1​+G1​G3​G6​H1​H2​G1​G2​G3​G4​+G3​G4​G5​+G1​G6​(1+G3​H1​)​​