最小树形图：有向图所分离出的有向生成树,亦称为最小树形图，其应满足以下条件：
1. 恰好有一个入度为0的点，称为根结点
2. 其他结点的入度均为1
3. 可以从根结点到达其他结点
既然要找最小生成树，当然就是找权重越小的边越好。每一个点（除了根以外）各自找到权重最小的入边之后，有可能就刚好是一棵最小生成树了，但是也有可能形成几只“水母”。
由于每个点都仅有一条入边，如果形成环，环上一定只有出边，不会有入边。每个点都仅有一条入边，除了刚好形成一棵树以外，要不就是形成水母 —— 一只环再加上环上的点各是一棵树的树根，或者说是很多棵树的树根用环串起。
最小生成树不能有环，所以水母是不合格的，然而水母是权重最小的连接方式。若有一棵恰当的最小生成树，其权重会略高于水母。由水母向最小生成树靠拢，可能有以下两种情况：
由此可得出结论：
只需要尝试打开水母环上的边就行了。打开环的时候，要同时考虑新加入的边的权重和取消的边的权重。选择差值最小者，可让权值增加最小。进入水母的环全部看一遍后，就能选出差值最小者。
根据Kruskal’s Algorithm提到的最小生成树相连性质，可以知道连接多只水母，就和连接多棵最小生成树的道理是一样的，以权重小的边來连接是最好的。唯一不同的是，Kruskal’s Algorithm一旦发现造成环的边，就直接舍弃；Chu-Liu/Edmonds Algorithm则是留下造成环的边（形成水母），并且尝试各种打开环的方式。
该算法设计思想巧妙，也较难理解。 Sasuke_SCUT 的blog讲原理解释得较清楚，特摘录如下：
判断是否存在树形图的方法很简单，只需要以v为根作一次图的遍历就可以了，所以下面的 算法中不再考虑树形图不存在的情况。
在所有操作开始之前，我们需要把图中所有的自环全都清除。很明显，自环是不可能在任何一个树形图上的。只有进行了这步操作，总算法复杂度才真正能保证是O(VE)。
首先为除根之外的每个点选定一条入边，这条入边一定要是所有入边中最小的。现在所有的最小入边都选择出来了，如果这个入边集不存在有向环的话，我们可以证明这个集合就是该图的最小树形图。这个证明并不是很难。如果存在有向环的话，我们就要将这个有向环所称一个人工顶点，同时改变图中边的权。假设某点u在该环上，并设这个环中指向u的边权是in[u]，那么对于每条从u出发的边(u, i, w)，在新图中连接(new, i, w)的边，其中new为新加的人工顶点; 对于每条进入u的边(i, u, w)，在新图中建立边(i, new, w-in[u])的边。为什么入边的权要减去in[u]，这个后面会解释，在这里先给出算法的步骤。然后可以证明，新图中最小树形图的权加上旧图中被收缩的那个环的权和，就是原图中最小树形图的权。
上面结论也不做证明了。现在依据上面的结论，说明一下为什么出边的权不变，入边的权要减去in [u]。对于新图中的最小树形图T，设指向人工节点的边为e。将人工节点展开以后，e指向了一个环。假设原先e是指向u的，这个时候我们将环上指向u的边 in[u]删除，这样就得到了原图中的一个树形图。我们会发现，如果新图中e的权w’(e)是原图中e的权w(e)减去in[u]权的话，那么在我们删除掉in[u]，并且将e恢复为原图状态的时候，这个树形图的权仍然是新图树形图的权加环的权，而这个权值正是最小树形图的权值。所以在展开节点之后，我们得到的仍然是最小树形图。逐步展开所有的人工节点，就会得到初始图的最小树形图了。
如果实现得很聪明的话，可以达到找最小入边O(E)，找环 O(V)，收缩O(E)，其中在找环O(V)这里需要一点技巧。这样每次收缩的复杂度是O(E)，然后最多会收缩几次呢？由于我们一开始已经拿掉了所有的自环，我门可以知道每个环至少包含2个点，收缩成1个点之后，总点数减少了至少1。当整个图收缩到只有1个点的时候，最小树形图就不不用求了。所以我们最 多只会进行V-1次的收缩，所以总得复杂度自然是O(VE)了。由此可见，如果一开始不除去自环的话，理论复杂度会和自环的数目有关。
// 摘自：http://blog.csdn.net/ditian1027/article/details/21958821
#include <iostream>
#include <math.h>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define N 105
#define INFINITE 999999999
#define MYTYPE double
struct _point
{
int x;
int y;
} point[N];
struct _edge
{
int from;
int to;
MYTYPE cost;
} edge[N*N];
MYTYPE inw[N]; //最小入边
int vis[N]; //是否被访问
int id[N]; //由当前图到重构图的映射
int pre[N]; //前驱顶点
MYTYPE Directed_MST(int root, int NV, int NE)
{
MYTYPE ret=0;
while (1) //开始迭代过程
{
//1.确定最小入边集
for(int i=0; i<NV; ++i) inw[i]=INFINITE;
for (int i=0; i<NE; ++i)
{
int from=edge[i].from;
int to=edge[i].to;
if (edge[i].cost<inw[to] && from!=to) //from!=to忽略自环
{
inw[to]=edge[i].cost;
pre[to]=from;
}
}
//检查是否有不可达点
for (int i=0; i<NV; ++i)
{
if(i==root) continue; //除根之外
if(inw[i]==INFINITE) return -1; //有不可达顶点，不可能生成最小树形图，退出
}
//2.找环
for (int i=0; i<NV; ++i)
{
vis[i]=-1;
id[i]=-1;
}
int newidx=0;
inw[root]=0;
for (int i=0; i<NV; ++i) //有两个作用：计算最小入边集的权值和；检查是否有环，如果有，重新对点进行编号
{
ret+=inw[i];
int v=i;
while (vis[v]!=i && id[v]==-1 && v!=root)
//由v回溯。能回到根，即最后v==root，那么肯定不在环里；回不到根，v!=root，v有可能在环里，也有可能不在（回溯到一个环然后出不去了，同样也到不了根）。
//若v在环里，则环上所有点的id[]值会被重新标号，不再是-1；若是后一种情况，它前驱的环上的点的id[]已被修改为非-1，不能通过“id[v]==-1”这个条件的检查。
{
vis[v]=i;
v=pre[v];
}
if (v!=root && id[v]==-1) //两个条件保证了：1.在环上2.这环没被处理过
{
//下面把环上所有的点的标号设置为同一个
for (int u=pre[v]; u!=v; u=pre[u])
{
id[u]=newidx;
}
id[v]=newidx;
++newidx;
}
}
if(newidx==0) break; //无环，ret就是答案，跳出迭代
for (int i=0; i<NV; ++i)
{
if(id[i]==-1) id[i]=newidx++; //给环外的点继续编号
}
//3.重新构图，准备下一次迭代
for (int i=0; i<NE; ++i)
{
int to=edge[i].to;
edge[i].from=id[edge[i].from];
edge[i].to=id[edge[i].to];
if(edge[i].from != edge[i].to)
{
edge[i].cost -= inw[to]; //算法的关键
}
}
//为下一轮迭代赋初值
NV=newidx;
root=id[root];
}
return ret;
}
MYTYPE calcdist(int point_a, int point_b)
{
MYTYPE delta_x=(MYTYPE)(point[point_a].x - point[point_b].x);
MYTYPE delta_y=(MYTYPE)(point[point_a].y - point[point_b].y);
return sqrt(delta_x*delta_x + delta_y*delta_y);
}
int main()
{
int n, m, x, y, from, to;
MYTYPE ans;
while (scanf("%d", &n) != EOF)
{
scanf("%d", &m);
for (int i=0; i<n; ++i) //n个顶点
{
scanf("%d%d", &x, &y);
point[i].x=x;
point[i].y=y;
}
for (int i=0; i<m; ++i) //m个边
{
scanf("%d%d", &from, &to);
edge[i].from=from-1;
edge[i].to=to-1;
edge[i].cost=calcdist(from-1, to-1);
}
ans=Directed_MST(0, n, m);
if (ans==-1) printf("NO\n");
else printf("%.2f\n", ans);
}
return 0;
}参考：演算法笔记-Tree